Question

10．如圖，已知A、B兩點是直線AB與x軸的正半軸，y軸的正半軸的交點，如果OA，OB的長分別是x²-14x+48=0的兩個根（OA＞OB），射線BC平分∠ABO交x軸于C點，
（1）求OA，OB的長．
（2）求點C的坐標．
（3）在坐標平面內找點Q，使A，B，C，Q四個點為頂點的四邊形是平行四邊形，求出符合條件的點Q的坐標．

Answer 1

分析 （1）首先根據x²-14x+48=0，求出方程的兩個根是多少；然后根據OA＞OB，求出OA，OB的長各是多少即可．
（2）首先根據射線BC平分∠ABO交x軸于C點，設∠OBC=∠ABC=α，則tan2α=$\frac{2tanα}{1{-tan}^{2}α}$=$\frac{4}{3}$，據此求出tanα的值是多少；然后求出OC的值是多少，即可確定出點C的坐標．
（3）根據題意，分三種情況：①當AC、BQ為四邊形ABCQ的兩條對角線時；②當AQ、BC為四邊形ABCQ的兩條對角線時；③當AB、CQ為四邊形ABCQ的兩條對角線時；然后根據平行四邊形的性質，分類討論，求出符合條件的點Q的坐標是多少即可．

解答 解：（1）由x²-14x+48=0，
解得x=6或x=8，
∵OA＞OB，
∴OA=8，0B=6，
即OA的長是8，OB的長是6．

（2）∵射線BC平分∠ABO交x軸于C點，
∴設∠OBC=∠ABC=α，
則tan2α=$\frac{2tanα}{1{-tan}^{2}α}$=$\frac{OA}{OB}=\frac{8}{6}=\frac{4}{3}$，
整理，可得
2tan²α+3tanα-2=0，
解得tanα=$\frac{1}{2}$或tanα=-2，
∵α為銳角，
∴tanα=-2舍去，
∴tanα=$\frac{1}{2}$，
即$\frac{OC}{OB}=\frac{1}{2}$，
∴$\frac{OC}{6}=\frac{1}{2}$，
解得OC=3，
∴點C的坐標是（3，0）．

（3）①如圖1，AC、BQ交于點D，

設點Q的坐標是（a，b），
∵AB∥CQ，
∴$\frac{a-3}$=-$\frac{3}{4}$…（1），
∵四邊形ABCQ是平行四邊形，
∴點D是AC、BQ的中點，
∴$\frac{b+6}{2}=\frac{0+0}{2}$…（2），
由（1）（2），可得
$\left\{\begin{array}{l}{a=11}\\{b=-6}\end{array}\right.$
∴點Q的坐標是（11，-6）．

②如圖2，AQ、BC交于點E，

設點Q的坐標是（c，d），
∵AC∥BQ，
∴d=6，
∵四邊形ABCQ是平行四邊形，
∴點E是AQ、BC的中點，
∴$\frac{3+0}{2}=\frac{8+c}{2}$，
解得c=-5，
∴點Q的坐標是（-5，6）．

③如圖3，AB、CQ交于點F，

設點Q的坐標是（e，f），
∵AC∥BQ，
∴f=6，
∵四邊形ABCQ是平行四邊形，
∴點F是AB、CQ的中點，
∴$\frac{8+0}{2}=\frac{e+3}{2}$，
解得e=5，
∴點Q的坐標是（5，6）．
綜上，可得點Q的坐標是（11，-6）、（-5，6）或（5，6）．

點評 （1）此題主要考查了一次函數綜合題，考查了分析推理能力，考查了分類討論思想的應用，考查了數形結合思想的應用，考查了從已知函數圖象中獲取信息，并能利用獲取的信息解答相應的問題的能力．
（2）此題還考查了平行四邊形的性質和應用，要熟練掌握，解答此題的關鍵是要明確：平行四邊形的性質：①邊：平行四邊形的對邊相等．②角：平行四邊形的對角相等．③對角線：平行四邊形的對角線互相平分．