Question

4．已知拋物線y=ax²+bx+3，經(jīng)過點M（-4，0），且對稱軸為x=-$\frac{5}{2}$，交y軸于B．
（1）求拋物線對應(yīng)的解析式；
（2）若x軸上有一點A（4，0），將△ABO沿x軸向左平移到△DCE（如圖），當(dāng)四邊形ABCD為菱形時，試判斷C，D是否在拋物線上；
（3）在（2）中，若點P是拋物線上一個動點（點P不與C，D重合），經(jīng)過點P作PQ∥y軸交直線CD于Q，設(shè)點P的橫坐標(biāo)為t，PQ的長度為d，求d與t之間的函數(shù)解析式，并直接寫出當(dāng)t為何值時，以P，Q，C，E為頂點的四邊形是平行四邊形．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)已知求得拋物線與x軸的另一個交點，然后根據(jù)待定系數(shù)法求得即可；
（2）已知A、B點的坐標(biāo)，由勾股定理能求出AB的長，若四邊形ABCD是菱形，那么AD=BC=AB，可據(jù)此求出C、D點的坐標(biāo)，再代入拋物線的解析式中進(jìn)行驗證即可．
（3）在求d與t之間的函數(shù)解析式時，要分兩種情況：①拋物線在直線CD上方、②拋物線在直線CD下方；先根據(jù)直線CD與拋物線的解析式，表示出P、Q的坐標(biāo)，它們縱坐標(biāo)的差即為d的長，當(dāng)以P、Q、C、E為頂點的四邊形是平行四邊形時，由于CE∥PQ∥y軸，那么CE必與PQ相等，將CE長代入d、t的函數(shù)關(guān)系式中，即可求出符合條件的t的值．

解答 解：（1）∵拋物線y=ax²+bx+3，經(jīng)過點M（-4，0），且對稱軸為x=-$\frac{5}{2}$，
∴M關(guān)于x=-$\frac{5}{2}$的對稱點為（-1，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{16a-4b+3=0}\\{a-b+3=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{3}{4}}\\{b=\frac{15}{4}}\end{array}\right.$，
∴拋物線的解析式：y=$\frac{3}{4}$x²+$\frac{15}{4}$x+3．

（2）∵拋物線y=$\frac{3}{4}$x²+$\frac{15}{4}$x+3交y軸于B．
∴B（0，3），
∵A（4，0），
∴OA=4，OB=3，AB=$\sqrt{O{A}^{2}+O{B}^{2}}$=5；
若四邊形ABCD是菱形，則BC=AD=AB=5，
∴C（-5，3）、D（-1，0）．
將C（-5，3）代入y=$\frac{3}{4}$x²+$\frac{15}{4}$x+3中，得：$\frac{3}{4}$×（-5）²+$\frac{15}{4}$×（-5）+3=3，所以點C在拋物線上；
同理可證：點D也在拋物線上．

（3）設(shè)直線CD的解析式為：y=kx+b，依題意，有：
$\left\{\begin{array}{l}{-5k+b=3}\\{-k+b=0}\end{array}\right.$，解得 $\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{3}{4}}\\{b=-\frac{3}{4}}\end{array}\right.$，
∴直線CD：y=-$\frac{3}{4}$x-$\frac{3}{4}$．
由于PQ∥y軸，設(shè) P（t，$\frac{3}{4}$t²+$\frac{15}{4}$t+3），則 Q（t，-$\frac{3}{4}$t-$\frac{3}{4}$）；
①t＜-5或t＞-1時，d=PQ=（$\frac{3}{4}$t²+$\frac{15}{4}$t+3）-（-$\frac{3}{4}$t-$\frac{3}{4}$）=$\frac{3}{4}$t²+$\frac{9}{2}$t+$\frac{15}{4}$；
②-5＜t＜-1時，d=PQ=（-$\frac{3}{4}$t-$\frac{3}{4}$）-（$\frac{3}{4}$t²+$\frac{15}{4}$t+3）=-$\frac{3}{4}$t²-$\frac{9}{2}$t-$\frac{15}{4}$；
若以M、N、C、E為頂點的四邊形是平行四邊形，由于PQ∥CE，則PQ=CE=3，則有：
$\frac{3}{4}$t²+$\frac{9}{2}$t+$\frac{15}{4}$=3，解得：t₁=-3+2$\sqrt{2}$，t₂=-3-2$\sqrt{2}$；
-$\frac{3}{4}$t²-$\frac{9}{2}$t-$\frac{15}{4}$=3，解得：t=-3；
綜上，當(dāng)t=-3+2$\sqrt{2}$或t=-3-2$\sqrt{2}$或-3時，以P，Q，C，E為頂點的四邊形是平行四邊形．

點評 此題是二次函數(shù)綜合題涉及的內(nèi)容有：函數(shù)解析式的確定以及菱形、平行四邊形的性質(zhì)；最后一題容易出錯，一定要注意函數(shù)解析式對應(yīng)的自變量取值范圍，以免出錯．