Question

8．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過原點(diǎn)的圓P交坐標(biāo)軸于點(diǎn)A，B，過點(diǎn)P作AB的垂線交圓P于點(diǎn)C，反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$的圖象經(jīng)過點(diǎn)C．若OB-OA=4，則k的值為-4．

Answer 1

分析 連接AC，BC，過C作CE⊥x軸，CD⊥y軸，由CP垂直平分AB，得到CA=CB，利用同弧所對(duì)的圓周角相等得到一對(duì)角相等，再由一對(duì)直角相等，利用AAS得到三角形ADC與三角形BEC全等，利用全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等得到AD=BE，CD=CE，得出C橫縱坐標(biāo)絕對(duì)值相等，設(shè)為（m，-m），由OB-OA=4，設(shè)OA=a，得出OB=a+4，由AD=BE求出m的值，確定出C坐標(biāo)，代入反比例解析式求出k的值即可．

解答 解：連接AC，BC，過C作CE⊥x軸，CD⊥y軸，
∵P為AB的中點(diǎn)，且CP⊥AB，即CP垂直平分AB，
∴AC=BC，
∵∠DAC與∠EBC都對(duì)$\widehat{OC}$，
∴∠DAC=∠EBC，
在△ADC和△BEC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ADC=∠BEC=90°}\\{∠DAC=∠EBC}\\{AC=BC}\end{array}\right.$，
∴△ADC≌△BEC（AAS），
∴CD=CE，AD=BE，
設(shè)C（m，-m），由OB-OA=4，設(shè)OA=a，則有OB=a+4，
∵AD=OA+OD=a+m，BE=OB-OE=a+4-m，
∴a+m=a+4-m，
解得：m=2，即C（2，-2），
把C坐標(biāo)代入反比例解析式得：k=-4，
故答案為：-4

點(diǎn)評(píng) 此題屬于反比例函數(shù)綜合題，涉及的知識(shí)有：線段垂直平分線定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，以及待定系數(shù)法確定反比例解析式，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．