Question

16．如圖，二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a≠0）的圖象與x軸正半軸相交于A、B兩點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)C，對稱軸為直線x=2，且OA=OC，則下列結(jié)論：
①abc＞0；②9a+3b+c＜0；③c＞-1；
④關(guān)于x的方程ax²+bx+c=0（a≠0）有一個根為-$\frac{1}{a}$
其中正確的結(jié)論個數(shù)有①③④ （填序號）

Answer 1

分析 由二次函數(shù)圖象的開口方向、對稱軸及與y軸的交點(diǎn)可分別判斷出a、b、c的符號，從而可判斷①；由圖象可知當(dāng)x=3時，y＞0，可判斷②；由OA=OC，且OA＜1，可判斷③；把-$\frac{1}{a}$代入方程整理可得ac²-bc+c=0，結(jié)合③可判斷④；從而可得出答案．

解答 解：由圖象開口向下，可知a＜0，
與y軸的交點(diǎn)在x軸的下方，可知c＜0，
又對稱軸方程為x=2，所以-$\frac{2a}$＞0，所以b＞0，
∴abc＞0，故①正確；
由圖象可知當(dāng)x=3時，y＞0，
∴9a+3b+c＞0，故②錯誤；
由圖象可知OA＜1，
∵OA=OC，
∴OC＜1，即-c＜1，
∴c＞-1，故③正確；
假設(shè)方程的一個根為x=-$\frac{1}{a}$，把x=-$\frac{1}{a}$代入方程可得$\frac{1}{a}$-$\frac{a}$+c=0，
整理可得ac-b+1=0，
兩邊同時乘c可得ac²-bc+c=0，
即方程有一個根為x=-c，
由②可知-c=OA，而當(dāng)x=OA是方程的根，
∴x=-c是方程的根，即假設(shè)成立，故④正確；
綜上可知正確的結(jié)論有三個：①③④．
故答案為：①③④．

點(diǎn)評 本題主要考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)．熟練掌握圖象與系數(shù)的關(guān)系以及二次函數(shù)與方程、不等式的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．特別是利用好題目中的OA=OC，是解題的關(guān)鍵．