Question

9．已知：在△ABC中．AB、AC的垂直平分線分別交BC于點(diǎn)E．F．
（1）如圖1．∠B=∠C=30°．求∠EAF的度數(shù)．
（2）如圖2．AB≠AC．且90°＜∠BAC＜180°
①若∠BAC=140°．則∠EAF=100°：若∠BAC=n°．則∠EAF=（n-40）°
②當(dāng)∠BAC=135°時(shí)．AE⊥AF．
③若BC=a．則△AEF的周長(zhǎng)為a．

Answer 1

分析 （1）先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠BAC的度數(shù)，再由線段垂直平分線的性質(zhì)得出AE=BE，F(xiàn)=CF，故可得出∠B=∠BAE，∠C=∠CAF，進(jìn)而可得出結(jié)論；
（2）①根據(jù)∠BAC的度數(shù)得出∠B+∠C的度數(shù)，再由線段垂直平分線的性質(zhì)得出∠BAE+∠CAF的度數(shù)，進(jìn)而可得出結(jié)論；
②根據(jù)AE⊥AF可知∠EAF=90°，故可得出∠B+∠C+∠BAE+∠CAF的度數(shù)，再由線段垂直平分線的性質(zhì)得出∠BAE+∠CAF的度數(shù)，進(jìn)而可得出結(jié)論；
③根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得出AE=BE，AF=CF，進(jìn)而可得出結(jié)論．

解答 解：（1）∵∠B=∠C=30°，
∴∠BAC=180°-30°-30°=120°．
∵AB、AC的垂直平分線分別交BC于點(diǎn)E、F，
∴∠B=∠BAE=30°，∠C=∠CAF=30°，
∴∠EAF=120°-30°-30°=60°；

（2）①∵∠BAC=140°，
∴∠B+∠C=180°-140°=40°．
∵AB、AC的垂直平分線分別交BC于點(diǎn)E，F(xiàn)，
∴∠BAE+∠CAF=40°，
∴∠EAF=140°-40°=100°．
同理，∵∠BAC=n°，
∴∠B+∠C=180°-n°．
∵AB、AC的垂直平分線分別交BC于點(diǎn)E，F(xiàn)，
∴∠BAE+∠CAF=180°-n°，
∴∠EAF=140°-180°+n°=（n-40）°．
故答案為：100，（n-40）°；

②∵AE⊥AF，
∴∠EAF=90°，
∴∠B+∠C+∠BAE+∠CAF=180°-90°=90°．
∵AB、AC的垂直平分線分別交BC于點(diǎn)E，F(xiàn)，
∴∠B=∠BAE，∠C=∠CAF，
∴∠BAE+∠CAF=45°，
∴∠BAC=45°+90°=135°．
故答案為：135；
③∵AB、AC的垂直平分線分別交BC于點(diǎn)E、F，
∴AE=BE，AF=CF，
∴△AEF的周長(zhǎng)=AE+AF+EF=BE+CF+EF=BC=a．
故答案為：a．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是線段垂直平分線的性質(zhì)，熟知線段垂直平分線上任意一點(diǎn)，到線段兩端點(diǎn)的距離相等是解答此題的關(guān)鍵．