Question

18．如圖，一次函數(shù)y=x+b（b為常數(shù)）的圖象分別交坐標軸于A，B兩點，y與反比例函數(shù)y=$\frac{\sqrt{2}}{x}$（x＞0）的圖象交于點D，則AD•BD=2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 作DC⊥x軸于C，設(shè)AC=a，用a、b表示出AD、AB，根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征得到a²-ab=$\sqrt{2}$，代入計算即可．

解答 解：作DC⊥x軸于C，
設(shè)AC=a，
當x=0時，y=b，
則點B的坐標為：（0，b），
當y=0時，x=-b，
則點A的坐標為：（-b，0），
∴AB=-$\sqrt{2}$b，∠DAC=45°，
∴CD=AC=a，
∴AD=$\sqrt{2}$a，
∴點D的坐標為：（-b+a，a），
∵點D在反比例函數(shù)y=$\frac{\sqrt{2}}{x}$的圖象上，
∴a（-b+a）=$\sqrt{2}$，即a²-ab=$\sqrt{2}$，
則AD•BD=$\sqrt{2}$a×（$\sqrt{2}$a-$\sqrt{2}$b）=2（a²-ab）=2$\sqrt{2}$，
故答案為：2$\sqrt{2}$．

點評 本題考查的是反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，正確作出輔助線、求出直線與坐標軸的交點坐標、掌握圖形與坐標特征是解題的關(guān)鍵．