Question

5．如圖，BC是⊙O的直徑，A是⊙O上一點，過點C作⊙O的切線，交BA的延長線于點D，取CD得中點E，AE的延長線與BC的延長線交于點P．
（1）求證：AP是⊙O的切線；
（2）若tanB=$\frac{1}{2}$，BC=6，求CP的長．

Answer 1

分析 （1）連接AO，AC（如圖）．欲證AP是⊙O的切線，只需證明OA⊥AP即可；
（2）由CD是⊙O的切線，得到CD⊥OC，根據(jù)tanB=$\frac{1}{2}$，得到$\frac{AC}{AB}$=$\frac{1}{2}$根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到$\frac{AP}{PB}=\frac{AC}{AB}$=$\frac{1}{2}$，得到PA=2PC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)解方程即可得到結(jié)論．

解答 （1）證明：連接AO，AC（如圖）．
∵BC是⊙O的直徑，
∴∠BAC=∠CAD=90°．
∵E是CD的中點，
∴CE=DE=AE．
∴∠ECA=∠EAC．
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA．
∵CD是⊙O的切線，
∴CD⊥OC．
∴∠ECA+∠OCA=90°．
∴∠EAC+∠OAC=90°．
∴OA⊥AP．
∵A是⊙O上一點，
∴AP是⊙O的切線；

（2）解：∵tanB=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{AC}{AB}$=$\frac{1}{2}$，
∵AP是⊙O的切線；
∴∠B=∠CAP，∵∠P=∠P，
∴△APC∽△BPA，
∴$\frac{AP}{PB}=\frac{AC}{AB}$=$\frac{1}{2}$，
∴PA=2PC，
∵△APC∽△BPA，
∴$\frac{PA}{PB}=\frac{PC}{PA}$，
∴PA²=PC•PB，
即（2PC）²=（PC+6）•PC，
∴PC=2．

點評 本題考查了切線的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，圓周角定理正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．