Question

15．已知四邊形ABCD中，AB⊥AD，BC⊥CD，AB=BC，∠ABC=120°，∠MBN=60°，∠MBN繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交AD，DC（或它們的延長(zhǎng)線）于E、F．
（1）當(dāng)∠MBN繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到AE=CF時(shí)（如圖1），試猜想AE，CF，EF之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)將三條線段分別填入后面橫線中：AE+CF=EF．（不需證明）
（2）當(dāng)∠MBN繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到AE≠CF（如圖2）時(shí)，上述（1）中結(jié)論是否成立？請(qǐng)說(shuō)明理由．
（3）當(dāng)∠MBN繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到AE≠CF（如圖3）時(shí)，上述（1）中結(jié)論是否成立？若不成立，線段AE，CF，EF又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)直接寫(xiě)出你的猜想，不需證明．

Answer 1

分析 （1）證明△ABE≌△CBF且△BEF是等邊三角形即可；
（2）延長(zhǎng)FC至G，使AE=CG，連接BG，先證△BAE≌△BCG，再證△GBF≌△EBF即可；
（3）在AE上截取AH=CF，連接BH，先證△BAH≌△BCF，再證△EBF≌△EBH即可．

解答 解：（1）如圖1，

在△ABE和△CBF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=CF}\\{∠BAE=∠BCF}\\{AB=CB}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△CBF（SAS），
∴∠CBF=∠EBA，BE=BF，
∵∠ABC=120°，∠EBF=60°，
∴△BEF是等邊三角形，CF=$\frac{1}{2}BF$，AE=$\frac{1}{2}BE$，
∴EF=BE=BF=AE+CF；
（2）如圖2，延長(zhǎng)FC至G，使AE=CG，連接BG，

在△BAE和△BCG中，
$\left\{\begin{array}{l}{BA=BC}\\{∠BAE=∠BCG}\\{AE=CG}\end{array}\right.$，
∴△BAE≌△BCG（SAS），
∴∠ABE=∠CBG，BE=BG，
∵∠ABC=120°，∠EBF=60°，
∴∠ABE+∠CBF=60°，
∴∠CBG+∠CBF=60°，
∴∠GBF=∠EBF，
在△GBF和△EBF中，
$\left\{\begin{array}{l}{BG=BE}\\{∠GBF=∠EBF}\\{BF=BF}\end{array}\right.$，
∴△GBF≌△EBF（SAS），
∴EF=GF=CF+CG=CF+AE；
（3）不成立，但滿足新的數(shù)量關(guān)系．
如圖3，在AE上截取AH=CF，連接BH，

在△BAH和△BCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{BA=BC}\\{∠BAH=∠BCF}\\{AH=CF}\end{array}\right.$，
∴△BAH≌△BCF（SAS），
∴BH=BF，∠ABH=∠CBF，
∵∠EBF=60°=∠FBC+∠CBE
∴∠ABH+∠CBE=60°，
∵∠ABC=120°，
∴∠HBE=60°=∠EBF，
在△EBF和△HBE中，
$\left\{\begin{array}{l}{BH=BF}\\{∠HBE=∠EBF}\\{BE=BE}\end{array}\right.$，
∴△EBF≌△EBH（SAS），
∴EF=EH，
∴AE=EH+AE=EF+CF．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)變換等知識(shí)點(diǎn)，難度適中．本題是典型的“大角夾半角模型”，其基本思路是“旋轉(zhuǎn)補(bǔ)短”，從而構(gòu)造全等三角形．這一類(lèi)型的題目經(jīng)常出現(xiàn)，希望同學(xué)們務(wù)必掌握．