Question

5．如圖1，將兩個(gè)完全相同的三角形紙片ABC和DEC重合放置，其中∠C=90°，∠B=∠E=30°．（1）操作發(fā)現(xiàn)
如圖2，固定△ABC，使△DEC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)D恰好落在AB邊上時(shí)，
①線段DE與AC的位置關(guān)系是平行；
②設(shè)△BDC的面積為S₁，△AEC的面積為S₂，則S₁與S₂的數(shù)量關(guān)系是相等；并證明你的結(jié)論．
（2）猜想論證
①當(dāng)△DEC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖3所示的位置時(shí)，猜想（1）中S₁與S₂的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立，并證明你的猜想．
②已知∠ABC=60°，點(diǎn)D是其角平分線上一點(diǎn)，BD=CD=4，DE∥AB交BC于點(diǎn)E（如圖4），若在射線BA上存在點(diǎn)F，使S_△DCF=S_△BDE，請(qǐng)直接寫出相應(yīng)的BF的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）①如圖2，易證△ACD是等邊三角形，即可得到∠ACD=∠CDE=60°，由此可得DE∥AC；②易證AD=DC=$\frac{1}{2}$AB，則有AD=BD，從而可得S₁=S_△ADC．由DE∥AC可得S_△ADC=S₂，即可得到S₁=S₂；
（2）①如圖3，作DG⊥BC于點(diǎn)G，作AH⊥CE交EC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，易證△AHC≌△DGC，則有AH=DG，再由CE=CB可得S₁=S₂；
②如圖4①，作DF⊥BD交BA于點(diǎn)F，連接FC，根據(jù)①中的結(jié)論可得S_△DCF=S_△BDE，在Rt△BDF中運(yùn)用三角函數(shù)就可求出BF的值；如圖4②，延長(zhǎng)CD交BA于Q，則∠BQC=90°，作點(diǎn)F關(guān)于CQ的對(duì)稱點(diǎn)F′，顯然點(diǎn)F′在BA上，在Rt△BQD中運(yùn)用三角函數(shù)可求出BQ，從而求出FQ（即F′Q）的值，即可得到BF′的值．

解答 解：（1）①DE∥AC．
提示：∵CA=CD，∠CAD=60°，
∴△ACD是等邊三角形，
∴∠ACD=60°．
∵∠CDE=60°，
∴∠ACD=∠CDE，
∴DE∥AC．
故答案為：平行；
②S₁=S₂．
理由：∵∠ACB=90°，∠B=30°，∴AC=$\frac{1}{2}$AB．
∵△ACD是等邊三角形，∴AD=AC，
∴AD=$\frac{1}{2}$AB，
∴AD=BD，
∴S₁=S_△ADC．
∵DE∥AC，
∴S_△ADC=S₂，
∴S₁=S₂．
故答案為：相等；

（2）①S₁=S₂仍然成立．
理由：如圖3，作DG⊥BC于點(diǎn)G，作AH⊥CE交EC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H．
∵∠DCE=∠ACB=90°，
∴∠DCG+∠ACE=180°．
∵∠ACH+∠ACE=180°，
∴∠ACH=∠DCG．
在△AHC和△DGC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AHC=∠DGC}\\{∠ACH=∠DCG}\\{AC=DC}\end{array}\right.$，
∴△AHC≌△DGC，
∴AH=DG．
∵CE=CB，
∴S₁=S₂；
②BF=$\frac{8\sqrt{3}}{3}$或$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．
提示：如圖4①，作DF⊥BD交BA于點(diǎn)F，連接FC，
根據(jù)①中的結(jié)論可得S_△DCF=S_△BDE，
此時(shí)，在Rt△BDF中，
$\frac{BD}{BF}$=$\frac{4}{BF}$=cos∠DBF=cos30°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴BF=$\frac{8\sqrt{3}}{3}$．
如圖4②，延長(zhǎng)CD交BA于Q，則∠BQC=90°．
作點(diǎn)F關(guān)于CQ的對(duì)稱點(diǎn)F′，顯然點(diǎn)F′在BA上，
在Rt△BQD中運(yùn)用三角函數(shù)可求得BQ=2$\sqrt{3}$，
∴F′Q=FQ=BF-BQ=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴BF′=BQ-F′Q=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)、平行線的判定、全等三角形的判定與性質(zhì)、三角函數(shù)、平行等積法、軸對(duì)稱性質(zhì)、30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半等知識(shí)，通過(guò)三角形全等證到CE和BC邊上的高相等是解決第（2）①小題的關(guān)鍵；利用（2）①中的結(jié)論及軸對(duì)稱變換是解決第（2）②小題的關(guān)鍵．