Question

15．如圖，AB是⊙O的直徑，點P在⊙O上，且PA=PB，點M是⊙O外一點，MB與⊙O相切于點B，連接OM，過點A作AC∥OM交⊙O于點C，連接BC交OM于點D．
（1）求證：OD=$\frac{1}{2}$AC；
（2）求證：MC是⊙O的切線；
（3）若MD=8，BC=12，連接PC，求PC的長．

Answer 1

分析 （1）先證明△BOD～△BAC，然后依據(jù)相似三角形的性質(zhì)進(jìn)行證明即可；
（2）連接OC，先先切線的性質(zhì)得帶∠OBM=90°，然后依據(jù)平行線的性質(zhì)和等腰三家巷的性質(zhì)證明∠BOM=∠COM，然后利用SAS證明△OCM≌△OBM，由全等三角形的性質(zhì)可得到∠OCM=∠OBM=90°；
（3）根據(jù)圓周角定理和平行線的性質(zhì)得到∠ACB=∠APB=90°，根據(jù)垂徑定理得到∠OCD=∠CMD，過點A作AH⊥PC于點H，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)和勾股定理即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）∵AC∥OM，
∴△BOD～△BAC，
∴$\frac{OD}{AC}$=$\frac{OB}{AB}$=$\frac{1}{2}$．
∴OD=$\frac{1}{2}$AC．
（2）連接OC，∵AC∥OM，
∴∠OAC=∠BOM，∠ACO=∠COM，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠ACO
∴∠BOM=∠COM，
在∴△OCM與△OBM中，$\left\{\begin{array}{l}{OC=OB}\\{∠BOM=∠COM}\\{OM=OM}\end{array}\right.$，
∴△OCM≌△OBM；
又∵M(jìn)B是⊙O的切線，
∴∠OCM=∠OBM=90°，
∴MC是⊙O的切線；
（3）∵AB是⊙O的直徑，AC∥OM，
∴∠ACB=∠APB=90°，OD⊥BC，
∴CD=BD=6，
∵∠OCD+∠MCD=∠CMD+∠MCD=90°，
∴∠OCD=∠CMD，
∵∠OCM=∠CDO=∠CDM=90°，
∴△CDO∽△MDC，
∴CD²=OD•DM，
∴OD=$\frac{9}{2}$，
∴OC=$\frac{15}{2}$，
∴AB=15，
∴PA=PB=$\frac{15\sqrt{2}}{2}$；
過點A作AH⊥PC于點H，
∴AH=CH=$\frac{9\sqrt{2}}{2}$，PH=6$\sqrt{2}$，
∴PC=PH+CH=$\frac{21\sqrt{2}}{2}$．

點評 本題考查了切線的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，圓周角定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．