Question

10．觀察下面一組等式：
①$\sqrt{1-\frac{1}{2}}$=$\sqrt{\frac{1}{2}}$．②$\sqrt{2-\frac{2}{5}}$=2$\sqrt{\frac{2}{5}}$．③$\sqrt{3-\frac{3}{10}}$=3$\sqrt{\frac{3}{10}}$．④$\sqrt{4-\frac{4}{17}}$=4$\sqrt{\frac{4}{17}}$，…，按上述規(guī)律．
（1）寫出第5個等式；
（2）猜想第n個等式，并給予驗證．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)前四個等式的規(guī)律解答；
（2）根據(jù)題意總結(jié)規(guī)律，根據(jù)二次根式的性質(zhì)證明即可．

解答 解：（1）第5個等式：$\sqrt{5-\frac{5}{26}}$=5$\sqrt{\frac{5}{26}}$；
（2）第n個等式：$\sqrt{n-\frac{n}{{n}^{2}+1}}$=n$\sqrt{\frac{n}{{n}^{2}+1}}$，
證明：$\sqrt{n-\frac{n}{{n}^{2}+1}}$=$\sqrt{\frac{{n}^{3}+n}{{n}^{2}+1}-\frac{n}{{n}^{2}+1}}$=$\sqrt{\frac{{n}^{3}}{{n}^{2}+1}}$=n$\sqrt{\frac{n}{{n}^{2}+1}}$．

點評 本題考查的是二次根式的化簡，掌握二次根式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．