Question

17．問(wèn)題提出
如圖①，已知直線l與線段AB平行，試只用直尺作出AB的中點(diǎn)．
初步探索
如圖②，在直線l的上方取一個(gè)點(diǎn)E，連接EA、EB，分別與l交于點(diǎn)M、N，連接MB、NA，交于點(diǎn)D，再連接ED并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)C，則C就是線段AB 的中點(diǎn)．
推理驗(yàn)證
利用圖形相似的知識(shí)，我們可以推理驗(yàn)證AC=CB．
（1）若線段a、b、c、d長(zhǎng)度均不為0，則由下列比例式中，一定可以得出b=d的是B
A．$\frac{a}$=$\frac{c}0swayon$  B．$\frac{a}$=$\frac{a}aqbzgap$  C．$\frac{a}$=$\fracgpe0a96{a}$  D．$\frac{a}{c}$=$\frac0n00m56$
（2）由MN∥AB，可以推出△EFN∽△ECB，△EMN∽△EAB，△MND∽△BAD，
△FND∽△CAD．
所以，有$\frac{FN}{CB}$=$\frac{（）}{（）}$=$\frac{MN}{AB}$=$\frac{（）}{（）}$=$\frac{FN}{AC}$，
所以，AC=CB．
拓展研究
如圖③，△ABC中，D是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在AB上．
（3）在圖③中只用直尺作直線l∥BC．
（4）求證：l∥BC．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)比例的性質(zhì)，兩內(nèi)項(xiàng)之積等于兩外項(xiàng)之積得出ad=ab，進(jìn)而得出d=b；
（2）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出對(duì)應(yīng)邊成比例，進(jìn)而解答即可；
（3）連接AD和PC，相交一點(diǎn)，然后連接此點(diǎn)和B點(diǎn)，交AC于一點(diǎn)，連接兩點(diǎn)即可得出所求直線；
（4）過(guò)點(diǎn)Q作MN∥BC，交AB、AC分別于點(diǎn)M、N，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)進(jìn)行證明即可．

解答 解：（1）根據(jù)比例的性質(zhì)得出：A、ad=cb，錯(cuò)誤；
B、ad=ab，得出d=b，正確；
C、aa=db，錯(cuò)誤；
D、ab=cd，錯(cuò)誤；
故選B；
（2）∵△EFN∽△ECB，△EMN∽△EAB，△MND∽△BAD，△FND∽△CAD，
∴$\frac{FN}{CB}$=$\frac{EN}{EB}$=$\frac{MN}{AB}$=$\frac{ND}{AD}$=$\frac{FN}{AC}$；
（3）如圖①，
；
（4）如圖②，過(guò)點(diǎn)Q作MN∥BC，交AB、AC分別于點(diǎn)M、N，

∵M(jìn)N∥BC，
∴△AMQ∽△ABD，△AQN∽△ADC，
∴$\frac{MQ}{BD}$=$\frac{AQ}{AD}$，$\frac{AQ}{AD}$=$\frac{QN}{DC}$，
∴$\frac{MQ}{BD}$=$\frac{QN}{DC}$，
∵點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，
∴BD=CD，
∴MQ=NQ，
∵M(jìn)N∥BC，
∴△PMQ∽△PBC，△EQN∽△EBC，
∴$\frac{MQ}{BC}$=$\frac{PQ}{PC}$，$\frac{NQ}{CB}$=$\frac{EQ}{EB}$，
∴$\frac{PQ}{PC}$=$\frac{EQ}{EB}$，
∴$\frac{PQ}{QC}$=$\frac{EQ}{BQ}$，
又∵∠PQE=∠CQB，
∴△PQE∽△CQB，
∴∠EPQ=∠BCQ，
∴PE∥BC，
即l∥BC．

點(diǎn)評(píng) 此題考查相似綜合問(wèn)題，關(guān)鍵是利用了兩內(nèi)項(xiàng)之積等于兩外項(xiàng)之積的性質(zhì)和相似三角形的性質(zhì)進(jìn)行分析解答．