Question

6．如圖，直線y=kx+b分別與x軸、y軸交于點(diǎn)A（2，0）和點(diǎn)B，直線y=x+1分別與x軸、y軸交于點(diǎn)C和點(diǎn)D，兩直線交于第一象限內(nèi)的點(diǎn)E，并且點(diǎn)D為CE的中點(diǎn)．
（1）求直線y=kx+b的解析式；
（2）過點(diǎn)D作DF∥x軸，交直線y=kx+b于點(diǎn)F，則△DEF的面積為$\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 （1）過E作EH⊥y軸于H，由y=x+1，求得D的坐標(biāo)為（0，1）C（-1，0），再證得△COD≌△EHD，根據(jù)全等三角形的判定得到EH=OC=1，DH=OD=1，即可求得E點(diǎn)的坐標(biāo)由待定系數(shù)法即可求得直線y=kx+b的解析式；
（2）根據(jù)三角形的中位線定理求得DE，由E（1，2），D的坐標(biāo)為（0，1），求得E到DF的距離為，根據(jù)三角形的面積公式即可求得結(jié)論．

解答 解：（1）過E作EH⊥y軸于H
把x=0代入y=x+1，得y=1，
∴D的坐標(biāo)為（0，1），
∴OD=1，
把y=0代入y=x+1，得x=-1，
∴C（-1，0），
∵點(diǎn)D為CE的中點(diǎn)，
∴△COD≌△EHD，
∴EH=OC=1，DH=OD=1，
∴E（1，2），把A，E點(diǎn)的坐標(biāo)代入y=kx+b中，得$\left\{\begin{array}{l}{2k+b=0}\\{k+b=2}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-2}\\{b=4}\end{array}\right.$，
∴直線y=kx+b的解析式為y=-2x+4；
（2）把y=0代入y=-2x+4，得x=2，
∴A（2，0），
∴AC=3，
∵D為CE的中點(diǎn)，DF∥x軸，
∴F為EA的中點(diǎn)，
∴DE=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{3}{2}$，
∵E（1，2），D的坐標(biāo)為（0，1），
∴E到DF的距離為1，
∴△DEF的面積=$\frac{1}{2}$×$\frac{3}{2}$×1=$\frac{3}{4}$，
故答案為：$\frac{3}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)的求法，三角形全等的性質(zhì)和判定，待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，通過全等三角形求得E點(diǎn)的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．