Question

14．如圖，四邊形ABCD、CEFG都是正方形，點(diǎn)G在線段CD上，連接BG、DE，DE和FG相交于點(diǎn)O，設(shè)AB=a，CG=b（a＞b）．下列結(jié)論：①△BCG≌△DCE；②BG⊥DE；③$\frac{DG}{GC}=\frac{GO}{CE}$；④$\sqrt{\frac{{{S_{△EOF}}}}{{{S_{△BCG}}}}}=\frac{a}$．其中結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是（　�。�

• A． 4個(gè)
• B． 3個(gè)
• C． 2個(gè)
• D． 1個(gè)

Answer 1

分析 由四邊形ABCD和四邊形CEFG是正方形，根據(jù)正方形的性質(zhì)，即可得BC=DC，CG=CE，∠BCD=∠ECG=90°，則可根據(jù)SAS證得①△BCG≌△DCE；然后延長(zhǎng)BG交DE于點(diǎn)H，根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等，求得∠CDE+∠DGH=90°，則可得②BH⊥DE；由△DGO與△DCE相似即可判定③錯(cuò)誤，由△OEF與△GBC相似即可求得④．

解答 證明：①∵四邊形ABCD和四邊形CEFG是正方形，
∴BC=DC，CG=CE，∠BCD=∠ECG=90°，
∴∠BCG=∠DCE．
在△BCG和△DCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{BC=DC}\\{∠BCG=∠DCE}\\{CG=CE}\end{array}\right.$，
∴△BCG≌△DCE（SAS），
故①正確；

②延長(zhǎng)BG交DE于點(diǎn)H，
∵△BCG≌△DCE，
∴∠CBG=∠CDE，
又∵∠CBG+∠BGC=90°，
∴∠CDE+∠DGH=90°，
∴∠DHG=90°，
∴BH⊥DE；
∴BG⊥DE．
故②正確；

③∵四邊形GCEF是正方形，
∴GF∥CE，
∴$\frac{DG}{DC}$=$\frac{GO}{CE}$，
∴$\frac{DG}{GC}$=$\frac{GO}{CE}$是錯(cuò)誤的．
故③錯(cuò)誤；

④∵DC∥EF，
∴∠GDO=∠OEF，
∵∠GDO=∠GBC，
∴∠OEF=∠GBC，
∵∠F=∠BCG=90°，
∴△OEF∽△GBC，
∴$\frac{{S}_{△EOF}}{{S}_{△BGC}}$=（$\frac{EF}{BC}$）²=（$\frac{a}$）²，
∴$\sqrt{\frac{{{S_{△EOF}}}}{{{S_{△BCG}}}}}=\frac{a}$．
故④正確；
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)及相似三角形的判定和性質(zhì)，綜合性較強(qiáng)，掌握三角形全等、相似的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．