Question

20．如圖，已知AB是⊙O的直徑，AC切⊙O于A，CB交⊙O于C，AC=2$\sqrt{6}$，CD=3，求⊙O的直徑長(zhǎng)．

Answer 1

分析 連接AD，在Rt△ACD中可求得AD，再證明△ACD∽△BCA，利用相似三角形的性質(zhì)可求得AB的長(zhǎng)，即可求得⊙O的直徑．

解答 解：
連接AD，
∵AB是直徑，
∴∠ADB=90°，
∴在Rt△ADC中，AD=$\sqrt{A{C}^{2}-D{C}^{2}}$=$\sqrt{（2\sqrt{6}）^{2}-{3}^{2}}$$\sqrt{15}$，
∵AC是⊙O的切線，
∴∠CAD=∠B，
∴△ACD∽△BCA，
∴$\frac{AD}{AB}$=$\frac{CD}{AC}$，即$\frac{\sqrt{15}}{AB}$=$\frac{3}{2\sqrt{6}}$，
解得AB=$\sqrt{40}$=2$\sqrt{10}$，即⊙O的直徑長(zhǎng)為2$\sqrt{10}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查切線的性質(zhì)及相似三角形的判定和性質(zhì)，由條件證得三角形相似是解題的關(guān)鍵．