Question

9．已知二次函數(shù)y=ax²+bx-2的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，0），且當(dāng)x=-2和x=5時(shí)二次函數(shù)的函數(shù)值y相等．
（1）求實(shí)數(shù)a、b的值；
（2）如圖1，動(dòng)點(diǎn)E、F同時(shí)從A點(diǎn)出發(fā)，其中點(diǎn)E以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿AB邊向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)F以每秒$\sqrt{5}$個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿射線AC方向運(yùn)動(dòng)．當(dāng)點(diǎn)E停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)F隨之停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．連接EF，將△AEF沿EF翻折，使點(diǎn)A落在點(diǎn)D處，得到△DEF．
①是否存在某一時(shí)刻t，使得△DCF為直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．
②設(shè)△DEF與△ABC重疊部分的面積為S，求S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)拋物線圖象經(jīng)過點(diǎn)A以及“當(dāng)x=-2和x=5時(shí)二次函數(shù)的函數(shù)值y相等”兩個(gè)條件，列出方程組求出待定系數(shù)的值．
（2）①首先由拋物線解析式能得到點(diǎn)A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)，則線段OA、OB、OC的長(zhǎng)可求，進(jìn)一步能得出AB、BC、AC的長(zhǎng)；首先用t 表示出線段AD、AE、AF（即DF）的長(zhǎng)，則根據(jù)AE、EF、OA、OC的長(zhǎng)以及公共角∠OAC能判定△AEF、△AOC相似，那么△AEF也是一個(gè)直角三角形，及∠AEF是直角；若△DCF是直角，可分成三種情況討論：
i）、點(diǎn)C為直角頂點(diǎn)，由于△ABC恰好是直角三角形，且以點(diǎn)C為直角頂點(diǎn)，所以此時(shí)點(diǎn)B、D重合，由此得到AD的長(zhǎng)，進(jìn)而求出t的值；
ii）、點(diǎn)D為直角頂點(diǎn)，此時(shí)∠CDB與∠CBD恰好是等角的余角，由此可證得OB=OD，再得到AD的長(zhǎng)后可求出t的值；
iii）、點(diǎn)F為直角頂點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)F在線段AC上時(shí)，∠DFC是銳角，而點(diǎn)F在射線AC的延長(zhǎng)線上時(shí)，∠DFC又是鈍角，所以這種情況不符合題意．
②此題需要分三種情況討論：
i）、當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)A與線段AB中點(diǎn)之間時(shí)，兩個(gè)三角形的重疊部分是整個(gè)△DEF；
ii）、當(dāng)點(diǎn)E在線段AB中點(diǎn)與點(diǎn)O之間時(shí)，重疊部分是個(gè)不規(guī)則四邊形，那么其面積可由大直角三角形與小鈍角三角形的面積差求得；
iii）、當(dāng)點(diǎn)E在線段OB上時(shí)，重疊部分是個(gè)小直角三角形．

解答 解：（1）由題意得$\left\{\begin{array}{l}{16a+4b-2=0}\\{4a-2b-2=25a+5b-2}\end{array}\right.$
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{2}}\\{b=-\frac{3}{2}}\end{array}\right.$．

（2）①由（1）知二次函數(shù)為y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x-2
∵A（4，0），
∴B（-1，0），C（0，-2）
∴OA=4，OB=1，OC=2
∴AB=5，AC=2$\sqrt{5}$，BC=$\sqrt{5}$
∴AC²+BC²=25=AB²
∴△ABC為直角三角形，且∠ACB=90°
∵AE=2t，AF=$\sqrt{5}$t，
∴$\frac{AF}{AE}$=$\frac{AB}{AC}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$
又∵∠EAF=∠CAB，
∴△AEF∽△ACB
∴∠AEF=∠ACB=90°
∴△AEF沿EF翻折后，點(diǎn)A落在x軸上點(diǎn)D處；
由翻折知，DE=AE，
∴AD=2AE=4t，EF=$\frac{1}{2}$AE=t
假設(shè)△DCF為直角三角形
當(dāng)點(diǎn)F在線段AC上時(shí)
�。┤鬋為直角頂點(diǎn)，則點(diǎn)D與點(diǎn)B重合，如圖2
∴AE=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{5}{2}$t=$\frac{5}{2}$÷2=$\frac{5}{4}$；
ⅱ）若D為直角頂點(diǎn)，如圖3
∵∠CDF=90°，
∴∠ODC+∠EDF=90°
∵∠EDF=∠EAF，
∴∠OBC+∠EAF=90°
∴∠ODC=∠OBC，
∴BC=DC
∵OC⊥BD，
∴OD=OB=1
∴AD=3，
∴AE=$\frac{3}{2}$
∴t=$\frac{3}{4}$；
當(dāng)點(diǎn)F在AC延長(zhǎng)線上時(shí)，∠DFC＞90°，△DCF為鈍角三角形
綜上所述，存在時(shí)刻t，使得△DCF為直角三角形，t=$\frac{3}{4}$或t=$\frac{5}{4}$．
②�。┊�(dāng)0＜t≤$\frac{5}{4}$時(shí)，重疊部分為△DEF，如圖1、圖2
∴S=$\frac{1}{2}$×2t×t=t²；
ⅱ）當(dāng)$\frac{5}{4}$＜t≤2時(shí)，設(shè)DF與BC相交于點(diǎn)G，則重疊部分為四邊形BEFG，如圖4
過點(diǎn)G作GH⊥BE于H，設(shè)GH=m
則BH=$\frac{m}{2}$，DH=2m，∴DB=$\frac{3m}{2}$
∵DB=AD-AB=4t-5
∴$\frac{3m}{2}$=4t-5，
∴m=$\frac{2}{3}$（4t-5）
∴S=S_△DEF-S_△DBG=$\frac{1}{2}$×2t×t-$\frac{1}{2}$（4t-5）×$\frac{2}{3}$（4t-5）=-$\frac{13}{3}$t²+$\frac{40}{3}$t-$\frac{25}{3}$；
ⅲ）當(dāng)2＜t≤$\frac{5}{2}$時(shí)，重疊部分為△BEG，如圖5
∵BE=DE-DB=2t-（4t-5）=5-2t，GE=2BE=2（5-2t）
∴S=$\frac{1}{2}$×（5-2t）×2（5-2t）=4t²-20t+25．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查的是動(dòng)點(diǎn)函數(shù)問題，涉及了函數(shù)解析式的確定、直角三角形以及相似三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)以及圖形面積的解法等綜合知識(shí)；第二題的兩個(gè)小題涉及的情況較多，一定要根據(jù)動(dòng)點(diǎn)的不同位置來分類討論，抓住動(dòng)點(diǎn)的關(guān)鍵位置來確定未知數(shù)的取值范圍是解題的關(guān)鍵所在．