Question

14．在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D是斜邊BC的中點(diǎn)，連接AD．
（1）如圖1，E是AC的中點(diǎn)，連接DE，將△CDE沿CD翻折到△CDE′，連接AE′，當(dāng)AD=$\sqrt{6}$時(shí)，求AE的值．
（2）如圖2，在AC上取一點(diǎn)E，使得CE=$\frac{1}{3}$AC，連接DE，將△CDE沿CD翻折到△CDE′，連接AE′交BC于點(diǎn)F，求證：DF=CF．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)折疊的性質(zhì)以及等腰直角三角形的性質(zhì)，得出CE'和AC的長，再根據(jù)勾股定理即可得到AE的值．
（2）過B作AE’的垂線交AD于點(diǎn)G，交AC于點(diǎn)H，判定△ABH≌△CAE'，得出AH=CE’=CE，進(jìn)而得到G是AD中點(diǎn)，再判定△ABG≌△CAF，得到AG=CF，根據(jù)AG=$\frac{1}{2}$AD，可得到DF=CF．

解答 解：（1）∵∠BAC=90°，AB=AC，D是斜邊BC的中點(diǎn)，
∴∠ADC=90°，∠ACD=45°，
在Rt△ADC中，AC=AD×sin45°=2$\sqrt{3}$，
∵E是AC的中點(diǎn)，
∴CE=$\frac{1}{2}$AC=$\sqrt{3}$，
∵將△CDE沿CD翻折到△CDE'，
∴CE=CE'=$\sqrt{3}$，∠ACE'=90°，
由勾股定理得：AE=$\sqrt{C{E}^{2}+A{C}^{2}}$=$\sqrt{15}$；

（2）證明：過B作AE’的垂線交AD于點(diǎn)G，交AC于點(diǎn)H，
∵∠ABH+∠BAF=90°，∠CAF+∠BAF=90°，
∴∠ABH=∠CAF，
又∵AB=AC，∠BAH=∠ACE’=90°，
∴△ABH≌△CAE'，
∴AH=CE’=CE，
∵CE=$\frac{1}{3}$AC，
∴AH=HE=CE，
∵D是BC中點(diǎn)，
∴DE是△BCH的中位線，
∴DE∥BH，
∴G是AD中點(diǎn)，
∵在△ABG和△CAF中，AB=AC，∠BAD=∠ACD=45°，∠ABH=∠CAF，
∴△ABG≌△CAF，
∴AG=CF，
∵AG=$\frac{1}{2}$AD，
∴CF=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{1}{2}$CD，
∴DF=CF．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了折疊問題，勾股定理以及全等三角形的判定與性質(zhì)的運(yùn)用，折疊是一種對(duì)稱變換，它屬于軸對(duì)稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角相等．解決問題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造全等三角形．