Question

18．探索與證明
如圖，在△ABC中，BD、CE分別是邊AC、AB上的中線，BD與CE相交于點(diǎn)O，M、N分別是BO、CO的中點(diǎn)，順次連接E、M、N、D四點(diǎn)．
（1）求證：EMND是平行四邊形；
（2）探索：BC邊上的中線是否過點(diǎn)O？為什么？

Answer 1

分析 （1）由中位線定理，可得ED∥BC，MN∥BC，且都等于邊長(zhǎng)BC的一半．分析到此，此題證明即可．
（2）BC邊上的中線過點(diǎn)O，連接DE．根據(jù)三角形的中位線定理，得DF∥BA，DF=$\frac{1}{2}$BA．根據(jù)平行得到三角形MDF相似于三角形MBA，再根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等即可求解．

解答 （1）證明：△ABC的邊AC、AB上的中線BD、CE相交于點(diǎn)O，M、N分別是BO、CO的中點(diǎn)，
∴ED∥BC且ED=$\frac{1}{2}$BC，
MN∥BC且MN=$\frac{1}{2}$BC，
∴ED∥MN且ED=MN，
∴四邊形MNDE是平行四邊形．
（2）BC邊上的中線過點(diǎn)O，理由如下：
作BC邊上的中線AF，交BD于M，連接DF，
∵BD、AF是邊AC、BC上的中線，
∴DF∥BA，DF=$\frac{1}{2}$BA．
∴△MDF∽△MBA，
∴$\frac{DM}{BM}=\frac{FM}{AM}=\frac{DF}{AB}$=$\frac{1}{2}$，
即BD=3DM，
∵BO=$\frac{2}{3}$BD，
∴O和M重合，
即BC邊上的中線一定過點(diǎn)O．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了平行四邊形的判定，三角形的中位線定理，關(guān)鍵是掌握三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半．