Question

1．如圖，A、B是函數(shù)y=$\frac{1}{x}$的圖象上關(guān)于原點O對稱的任意兩點，AC平行于y軸，BC平行于x軸．
（1）已知點A的坐標(biāo)為（1，1），寫出點B的坐標(biāo)，并求出此時△ABC的面積；點A的坐標(biāo)為（2，$\frac{1}{2}$），寫出點B的坐標(biāo)，并求出此時△ABC的面積；
（2）已知點A的坐標(biāo)為（a，$\frac{1}{a}$），求出點B的坐標(biāo)，并求出此時△ABC的面積．
（3）通過做以上兩小題，你有什么發(fā)現(xiàn)？

Answer 1

分析 （1）依據(jù)A、B關(guān)于關(guān)于原點對稱結(jié)合A點的坐標(biāo)即可求出B點的坐標(biāo)，利用三角形的面積公式即可得出結(jié)論；
（2）依據(jù)A、B關(guān)于關(guān)于原點對稱結(jié)合A點的坐標(biāo)即可求出B點的坐標(biāo)，利用三角形的面積公式即可得出結(jié)論；
（3）通過觀察上面2小題結(jié)果，結(jié)合題意即可找出規(guī)律．

解答 解：（1）∵點A、點B關(guān)于原點對稱，點A坐標(biāo)為（1，1），
∴點B的坐標(biāo)為（-1，-1），點C的坐標(biāo)為（1，-1），
∴AC=1-（-1）=2，BC=1-（-1）=2，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$•BC•AC=$\frac{1}{2}$×2×2=2；
∵點A、點B關(guān)于原點對稱，點A坐標(biāo)為（2，$\frac{1}{2}$），
∴點B的坐標(biāo)為（-2，-$\frac{1}{2}$），點C的坐標(biāo)為（2，-$\frac{1}{2}$），
∴AC=$\frac{1}{2}$-（-$\frac{1}{2}$）=1，BC=2-（-2）=4，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$•BC•AC=$\frac{1}{2}$×1×4=2．
（2）∵點A、點B關(guān)于原點對稱，點A坐標(biāo)為（a，$\frac{1}{a}$），
∴點B的坐標(biāo)為（-a，-$\frac{1}{a}$），點C的坐標(biāo)為（a，-$\frac{1}{a}$），
∴AC=$\frac{1}{a}$-（-$\frac{1}{a}$）=$\frac{2}{a}$，BC=a-（-a）=2a，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$•BC•AC=$\frac{1}{2}$×$\frac{2}{a}$×2a=2．
（3）我發(fā)現(xiàn)了S_△ABC為固定值，即：若A、B是函數(shù)y=$\frac{1}{x}$的圖象上關(guān)于原點O對稱的任意兩點，AC平行于y軸，BC平行于x軸，則△ABC的面積S_△ABC=2|k|．

點評 本題考查了反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義以及三角形的面積公式，解題的關(guān)鍵是：（1）找出點B、點C坐標(biāo)；（2）找出點B、點C坐標(biāo)；（3）結(jié)合題意寫出發(fā)現(xiàn)的規(guī)律．本題屬于基礎(chǔ)題，難度不大，解決該題型題目時，先求出三角形各定點的坐標(biāo)，再按照三角形的面積公式即可得出結(jié)論．