Question

15．如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，對角線AC、BD相交于點E，且AB=AC，BD平分∠ABC，AD、BC延長線交于點F．
（1）求證：∠ADB=∠CDF；
（2）求證：AB=CF．

Answer 1

分析 （1）先根據(jù)AB=AC得出∠ABC=∠ACB，再由圓周角定理得出∠ADB=∠ACB，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得出∠CDF=∠ABC，進而可得出結(jié)論；
（2）根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出∠ABD=∠CBD，再由圓周角定理得出∠CBD=∠CAD，故可得出∠ABD=∠CAD．根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得出∠DCF=∠BAD，再由（1）可知∠ADB=∠CDF，故可得出∠F=∠ABD，所以∠F=∠CAD，故可得出AC=CF，進而得出結(jié)論．

解答 （1）證明：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB．
∵∠ADB與∠ACB是同弧所對的圓周角，
∴∠ADB=∠ACB．
∵∠CDF=∠ABC，
∴∠ADB=∠CDF；

（2）證明：∵BD平分∠ABC
∴∠ABD=∠CBD．
∵∠CBD=∠CAD，
∴∠ABD=∠CAD．
∵四邊形ABCD是圓內(nèi)接四邊形，
∴∠DCF=∠BAD．
∵由（1）可知∠ADB=∠CDF，
∴∠F=∠ABD，
∴∠F=∠CAD，
∴AC=CF．
∵AB=AC，
∴AB=CF．

點評 本題考查的是圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，熟知圓內(nèi)接四邊形對角互補是解答此題的關(guān)鍵．