Question

13．已知二次函數(shù)y=-x²-2x+3的圖象和x軸交于點A、B，與y軸交于點C，直線AC上方的拋物線上一動點P，拋物線的頂點是點D．

（1）求直線AC的解析式；
（2）求△APC面積的最大值；
（3）當(dāng)△APC的面積最大時，在直線AC上有一動點M，使得△PMD的周長最小，求△PMD周長最小時點M的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）分別將x=0、y=0代入二次函數(shù)解析式中求出點C、A的坐標(biāo)，再根據(jù)點A、C的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法即可求出直線AC的解析式；
（2）過點P作E∥y軸交AC于點E，設(shè)點P的坐標(biāo)為（m，-m²-2m+3）（-3＜m＜0），則點E的坐標(biāo)為（m，m+3），進(jìn)而可得出PE的長度，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求出PE的最大值，再結(jié)合三角形的面積公式即可得出△APC面積的最大值；
（3）作點P關(guān)于直線AC的對稱點P′，連接P′D交直線AC于點M，連接PM、DM、EP′，此時△PMD周長最小，由直線AC的解析式結(jié)合點P、P′關(guān)于直線AB對稱即可得出點E、P′的坐標(biāo)，由點D為拋物線的頂點可得出點D的坐標(biāo)，根據(jù)點D、P′的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法即可求出直線DP′的解析式，再聯(lián)立直線AC、DP′的解析式成方程組，通過解方程組求出點M的坐標(biāo)．

解答 解：（1）當(dāng)x=0時，y=-x²-2x+3=3，
∴C（0，3）；
當(dāng)y=-x²-2x+3=0時，x₁=-3，x₂=1，
∴A（-3，0）．
設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b（k≠0），
將A（-3，0）、C（0，3）代入y=kx+b，
$\left\{\begin{array}{l}{-3k+b=0}\\{b=3}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=3}\end{array}\right.$，
∴直線AC的解析式為y=x+3．

（2）過點P作E∥y軸交AC于點E，如圖3所示．
設(shè)點P的坐標(biāo)為（m，-m²-2m+3）（-3＜m＜0），則點E的坐標(biāo)為（m，m+3），
∴PE=-m²-2m+3-（m+3）=-m²-3m=-$（m+\frac{3}{2}）^{2}$+$\frac{9}{4}$，
∴當(dāng)m=-$\frac{3}{2}$時，PE取最大值，最大值為$\frac{9}{4}$．
∵S_△APC=$\frac{1}{2}$PE•（x_C-x_A）=$\frac{3}{2}$PE，
∴△APC面積的最大值為$\frac{27}{8}$．

（3）作點P關(guān)于直線AC的對稱點P′，連接P′D交直線AC于點M，連接PM、DM、EP′，此時△PMD周長最小，如圖4所示．
∵直線AC的解析式為y=x+3，P、P′關(guān)于直線AB對稱，
∴PE=P′E，PE⊥P′E，
∴P′E=PE=$\frac{9}{4}$．
∵點E在直線y=x+3上，
∴點E（-$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{2}$），
∴點P′（$\frac{3}{4}$，$\frac{3}{2}$）．
∵拋物線y=-x²-2x+3=-（x+1）²+4的頂點為D，
∴D（-1，4）．
設(shè)直線DP′的解析式為y=ax+c（a≠0），
將D（-1，4）、P′（$\frac{3}{4}$，$\frac{3}{2}$）代入y=ax+c，
$\left\{\begin{array}{l}{-a+c=4}\\{\frac{3}{4}a+c=\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{10}{7}}\\{b=\frac{18}{7}}\end{array}\right.$，
∴直線DP′的解析式為y=-$\frac{10}{7}$x+$\frac{18}{7}$．
聯(lián)立直線AC、DP′的解析式成方程組，
$\left\{\begin{array}{l}{y=x+3}\\{y=-\frac{10}{7}x+\frac{18}{7}}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{3}{17}}\\{y=\frac{48}{17}}\end{array}\right.$，
∴△PMD周長最小時點M的坐標(biāo)為（-$\frac{3}{17}$，$\frac{48}{17}$）．

點評 本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式、二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征、等腰三角形的性質(zhì)、二次函數(shù)的性質(zhì)以及解二元一次方程組，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)點A、C的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法求出直線AC的解析式；（2）利用二次函數(shù)的性質(zhì)找出PE的最大值；（3）找出點M的位置．