Question

8．已知以（0，4）為圓心的⊙M與直線l：y=-$\sqrt{3}$x相切，從相切處開始，⊙M以每秒1個(gè)單位的速度沿y軸某一方向勻速運(yùn)動．
（1）⊙M的半徑是2．
（2）若⊙M在運(yùn)動過程中截直線l所得的弦長為$\frac{12}{5}$，求⊙M的運(yùn)動時(shí)間．
（3）若直線l同時(shí)以每秒$\sqrt{3}$個(gè)單位的速度沿x軸正方向運(yùn)動，求⊙M與直線l再次相切時(shí)圓心的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）如圖1中，設(shè)⊙M與直線y=-$\sqrt{3}$x相切于點(diǎn)C，設(shè)C（m，-$\sqrt{3}$m），作CH⊥y軸于H．首先證明∠COM=30°，Rt△COM中解直角三角形即可．
（2）如圖2中，設(shè)⊙M與直線y=-$\sqrt{3}$x交于點(diǎn)A、B．作MC⊥AB于C，連接BM．由CM⊥AB，推出AC=CB=$\frac{6}{5}$，在Rt△BCM中，CM=$\sqrt{B{M}^{2}-B{C}^{2}}$=$\frac{8}{5}$，在Rt△COM中，由∠COM=30°，OM=2CM=$\frac{16}{5}$，推出點(diǎn)M的運(yùn)動距離=4-$\frac{16}{5}$=$\frac{4}{5}$，推出t=$\frac{4}{5}$s．根據(jù)對稱性當(dāng)M′（-$\frac{16}{5}$，0）時(shí)，也滿足條件．
（3）如圖3中，①當(dāng)⊙M向下平移時(shí)，⊙M與直線的切點(diǎn)為C，作ME∥直線l，作ED⊥直線l于D．則四邊形MCDE是矩形，想辦法列出方程即可解決問題．②當(dāng)⊙M向上平移時(shí)，方法類似．

解答 解：（1）如圖1中，設(shè)⊙M與直線y=-$\sqrt{3}$x相切于點(diǎn)C，設(shè)C（m，-$\sqrt{3}$m），作CH⊥y軸于H．

∵tan∠COH=$\frac{CH}{OH}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠COH=30°，
在Rt△COM中，∠MCO=90°，OM=4，
∴CM=$\frac{1}{2}$OM=2，
故答案為2．

（2）如圖2中，設(shè)⊙M與直線y=-$\sqrt{3}$x交于點(diǎn)A、B．作MC⊥AB于C，連接BM．

∵CM⊥AB，
∴AC=CB=$\frac{6}{5}$，
在Rt△BCM中，CM=$\sqrt{B{M}^{2}-B{C}^{2}}$=$\frac{8}{5}$，
在Rt△COM中，∵∠COM=30°，OM=2CM=$\frac{16}{5}$，
∴點(diǎn)M的運(yùn)動距離=4-$\frac{16}{5}$=$\frac{4}{5}$，
∴t=$\frac{4}{5}$s．
根據(jù)對稱性當(dāng)M′（-$\frac{16}{5}$，0）時(shí)，也滿足條件，
∴點(diǎn)M的運(yùn)動距離=4+$\frac{16}{5}$=$\frac{36}{5}$，
∴t=$\frac{36}{5}$s．
綜上所述，⊙M在運(yùn)動過程中截直線l所得的弦長為$\frac{12}{5}$，所以⊙M的運(yùn)動時(shí)間為$\frac{4}{5}$s或$\frac{36}{5}$s．

（3）如圖3中，①當(dāng)⊙M向下平移時(shí)，⊙M與直線的切點(diǎn)為C，作ME∥直線l，作ED⊥直線l于D．則四邊形MCDE是矩形，

易知CM=ED=2，在Rt△ADE中，AE=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
在Rt△OME中，OM=4-t，OE=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（4-t），
∵OA=$\sqrt{3}$t，
∴$\sqrt{3}$t=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（4-t）+$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
解得t=2，
∴M（0，2）．
②當(dāng)⊙M向上平移時(shí)，同法可得$\sqrt{3}$t=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（4+t）+$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
解得t=4，
∴M（0，8）．
綜上所述，滿足條件的點(diǎn)M坐標(biāo)為（0，2）或（0，8）．
（0，2）或（0，8）．

點(diǎn)評 本題考查圓綜合題、一次函數(shù)的性質(zhì)、勾股定理、解直角三角形、銳角三角函數(shù)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會用分類討論的思想思考問題，學(xué)會構(gòu)建方程解決問題，屬于中考壓軸題．