Question

17．如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD，AD=1，AC=3，BD=4，求BC的長及梯形ABCD的面積．

Answer 1

分析 過D作DE∥AC，交BC的延長線于E，得出四邊形ACED是平行四邊形，DE=AC，CE=AD，DE⊥BD，根據(jù)勾股定理求出BE，即可得出BC；由對角線互相垂直，得出梯形的面積=兩條對角線長乘積的一半．

解答 解：過D作DE∥AC，交BC的延長線于E，如圖所示：
∵AD∥BC，
∴四邊形ACED是平行四邊形，
∴DE=AC=4，CE=AD=1，
∵AC⊥BD，
∴DE⊥BD，
∴∠BDE=90°，
∴BE=$\sqrt{B{D}^{2}+D{E}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{3}^{2}}$=5，
∴BC=BE-CE=4，
∵AC⊥BD，
∴梯形ABCD的面積=△BDE的面積=$\frac{1}{2}$BD•AC=$\frac{1}{2}$×4×3=6．

點(diǎn)評 本題考查了梯形的性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、勾股定理的運(yùn)用以及梯形面積的計(jì)算；通過作輔助線得出平行四邊形和直角三角形是解決問題的關(guān)鍵．