Question

8．（1）如圖1，在四邊形ABCD中，∠B=∠C=90°，E為BC上一點(diǎn)，且CE=AB，BE=CD，連結(jié)AE、DE、AD，則△ADE的形狀是等腰直角三角形．
（2）如圖2，在△ABC中，∠A=90°，D、E分別為AB、AC上的點(diǎn)，連結(jié)BE、CD，兩線交于點(diǎn)P．
①當(dāng)BD=AC，CE=AD時(shí)，在圖中補(bǔ)全圖形，猜想∠BPD的度數(shù)并給予證明．
②當(dāng)$\frac{BD}{AC}=\frac{CE}{AD}=\sqrt{3}$時(shí)，∠BPD的度數(shù)60°．

Answer 1

分析 （1）利用SAS證明△ABE≌△ECD，得到AE=DE；證明∠AED=90°，即可解決問題；
（2）過B點(diǎn)作FB⊥AB，且FB=CE，證明△FBD≌△DAC．得到∠FDB=∠DCA，F(xiàn)D=DC，再進(jìn)一步證明∠CDF=90°，所以∠FCD=∠CFD=45°．再證明四邊形BECF是平行四邊形，所以BE∥FC，所以∠BPD=∠FCD=45°．
（3）過B點(diǎn)作FB⊥AB，且FB=CE，證明△FBD∽△DAC，得到$\frac{DF}{DC}=\frac{BD}{AC}=\sqrt{3}$，∠FDB=∠DCA，再進(jìn)一步證明∠CDF=90°，再證明四邊形BECF是平行四邊形，所以BE∥FC，所以∠BPD=∠FCD，即可解答．

解答 （1）解：在△ABE與△ECD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=CE}\\{∠B=∠C}\\{BE=CD}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△ECD（SAS），
∴AE=DE，∠AEB=∠EDC，
∵∠EDC+∠DEC=90°，
∴∠AEB+∠DEC=90°
∴∠AED=180°-90°=90°，
∴△AED為等腰直角三角形，
故答案為：等腰直角三角形．
（2）45°，
證明：過B點(diǎn)作FB⊥AB，且FB=CE，

∴∠FBD=∠A=90°，
∵CE=AD，
∴FB=AD，
在△FBD和△DAC中，
$\left\{\begin{array}{l}{FB=AD}\\{∠FBD=∠A}\\{BD=AC}\end{array}\right.$，
∴△FBD≌△DAC．
∴∠FDB=∠DCA，F(xiàn)D=DC
∵∠DCA+∠CDA=90°，
∴∠FDB+∠CDA=90°，
∴∠CDF=90°，
∴∠FCD=∠CFD=45°．
∵AD=CE，
∴BF=CE，
∵∠FBD=∠A=90°，
∴∠FBD+∠A=180°．
∴BF∥EC．
∴四邊形BECF是平行四邊形．
∴BE∥FC．
∴∠BPD=∠FCD=45°．
（3）如圖，過B點(diǎn)作FB⊥AB，且FB=CE，

∴∠FBD=∠A=90°，
∵$\frac{BD}{AC}=\frac{CE}{AD}$，
∴$\frac{BD}{AC}=\frac{FB}{AD}$，
∴△FBD∽△DAC，
∴$\frac{DF}{DC}=\frac{BD}{AC}=\sqrt{3}$，∠FDB=∠DCA，
∵∠DCA+∠CDA=90°，
∴∠FDB+∠CDA=90°，
∴∠CDF=90°，
∵∠FBD=∠A=90°，
∴∠FBD+∠A=180°．
∴BF∥EC，
∵BF=EC，
∴四邊形BECF是平行四邊形．
∴BE∥FC．
∴∠BPD=∠FCD，
在Rt△FDC中，tan∠FCD=$\frac{DF}{CD}=\sqrt{3}$，
∴∠FCD=60°，
∴∠BPD=60°．
故答案為：60°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，相似三角形的性質(zhì)和判定以及平行四邊形的性質(zhì)和判定，解決本題的關(guān)鍵是解題的關(guān)鍵是作輔助線，將分散的條件集中．