Question

1．已知矩形ABCD中，AD=6，∠ACB=30°，將△ACD繞點C順時針旋轉(zhuǎn)得到△EFG，使點D的對應點G落在BC延長線上，點A對應點為E點，C點對應點為F點，F(xiàn)點與C點重合（如圖1），此時將△EFG以每秒1個單位長度的速度沿直線CB向左平移，直至點G與點B重合時停止運動，設△EFG運動的時間為t（t＞0）．
（1）當t為何值時，點D落在線段EF上？
（2）設在平移過程中△EFG與矩形ABCD重疊部分的面積為S，請直接寫出S與t之間的函數(shù)關系式，并寫出相應的t的取值范圍；
（3）在平移過程中，當點G與點B重合時（如圖2），將△CBA繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)得到△C₁A₁B，直線EF與C₁A₁所在直線交于P點，與C₁B所在直線交于點Q．在旋轉(zhuǎn)過程中，△ABC的旋轉(zhuǎn)角為α（0°＜α＜180°），是否存在這樣的α，使得△C₁PQ為等腰三角形？若存在，請寫出α的度數(shù)，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用三角函數(shù)求出線段CD，延長AD交EF于點H，利用三角函數(shù)即可求出線段DH長度，再除以運動速度即為運動時間；
（2）根據(jù)勾股定理求出AB=2$\sqrt{3}$，AC=4$\sqrt{3}$，即FG=2$\sqrt{3}$，EG=4$\sqrt{3}$，再根據(jù)運動時間分五種情況進行討論：①當 0＜t≤2時；②當2＜t≤2$\sqrt{3}$時；③當2$\sqrt{3}$＜t≤6時；④當6＜t≤8時；⑤當8＜t＜$6+2\sqrt{3}$時；根據(jù)三角形的面積和長方形的面積求出重合面積，寫出S關于t的函數(shù)關系式即可；
（3）通過分析△C₁PQ為等腰三角形，分析等腰情況，分別求出對應角度即可．

解答 解：（1）∵AD=BC=6，∠ACB=30°，
∴AB=DF=6×tan30°=2$\sqrt{3}$，
延長AD交EF于點H，如下圖：
∵△ACD繞點C順時針旋轉(zhuǎn)得到△EFG，
∴∠DFH=30°，
∴DH=DF×tan30°=2，
∵△EFG以每秒1個單位長度的速度沿直線CB向左平移，2÷1=2秒，
∴當t=2時，點D落在線段EF上；

（2）∵矩形ABCD中，AD=6，∠ACB=30°，
∴設AB=x，則AC=2x，
在Rt△ABC中，AB²+BC²=AC²
即x²+6²=（2x）²
解得：x=2$\sqrt{3}$，
∴AB=2$\sqrt{3}$，AC=4$\sqrt{3}$，
∴FG=2$\sqrt{3}$，EF=4$\sqrt{3}$．
分五種情況進行討論：
①當 0＜t≤2時，如圖2，CF=t，CM=$\sqrt{3}$t，
則S=$\frac{1}{2}$CF•CM=$\frac{1}{2}$×t×$\sqrt{3}$t=$\frac{\sqrt{3}}{2}$t²；
②當2＜t≤2$\sqrt{3}$時，如圖3，
CF=t，CD=AB=2$\sqrt{3}$，
則DM=t-2，
∴S=$\frac{1}{2}$（DM+CF）•CD=$\frac{1}{2}$（t-2+t）×2$\sqrt{3}$=2$\sqrt{3}$t-2$\sqrt{3}$；
③當2$\sqrt{3}$＜t≤6時，如圖4，F(xiàn)G=2$\sqrt{3}$，MN=$\frac{\sqrt{3}}{3}$DE=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（6-2$\sqrt{3}$）=2$\sqrt{3}$-2，
∴S=$\frac{1}{2}$（MN+FG）•CD=$\frac{1}{2}$×（2$\sqrt{3}$-2+2$\sqrt{3}$）×2$\sqrt{3}$=12-2$\sqrt{3}$；
④當6＜t≤8時，如圖5，BG=FG-BF=2$\sqrt{3}$-（t-6）=2$\sqrt{3}$+6-t，AN=BG-NH=（2$\sqrt{3}$+6-t）-（2$\sqrt{3}$-2）=8-t，
∴AM=$\sqrt{3}$AN=8$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$t，
∴S=S_矩形ABGH-S_△AMN=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$t²+6$\sqrt{3}$t-20$\sqrt{3}$+12；
⑤當8＜t＜$6+2\sqrt{3}$時，如圖6，BG=2$\sqrt{3}$+6-t，
∴S=BG•AB=-2$\sqrt{3}$t+12$\sqrt{3}$+12；


（3）∵△C₁PQ為等腰三角形，
當PQ=PC′，如下圖7：
則∠Q=∠C′=30°，
∴∠EPC′=60°，
∵∠E=30°，
∴∠A′B′E=30°，
∴α=30°．
同理：當PQ=QC′，PC′=QC′，α=120°、165°．
∴△C₁PQ為等腰三角形，旋轉(zhuǎn)角為30°、120°、165°．

點評 此題屬于幾何變換綜合題．考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、平移的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)等知識．解決此類問題的關鍵分析圖形的變換情況，在變換過程中，找準變量和不變量．