Question

3．如圖1，四邊形ABCD是正方形，點E、K分別在BC、AB上，點G在BA的延長線上，且CE=BK=AG．
（1）求證：①DE=DG；②DE⊥DG；
（2）以線段DE、DG為邊作出正方形DEFG，連接KF，猜想并寫出四邊形CEFK是怎樣的特殊四邊形，并證明你的猜想．

Answer 1

分析 （1）①根據(jù)正方形性質(zhì)求出AD=DC，∠GAD=∠DCE=90°，根據(jù)全等三角形判定推出即可；②根據(jù)全等得出∠GDA=∠CDE，求出∠GDE=∠GDA+∠ADE=∠ADC=90°即可；
（2）四邊形CEFK是平行四邊形，推出EF=CK，EF∥CK，根據(jù)平行四邊形的判定推出即可．

解答 （1）①證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD=DC，∠GAD=∠DCE=90°，
在△GAD和△ECD中
$\left\{\begin{array}{l}{AG=CE}\\{∠GAD=∠ECD}\\{AD=DC}\end{array}\right.$
∴△GAD≌△ECD（SAS），
∴DE=DG；
②∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠ADC=90°，
∵△GAD≌△ECD，
∴∠GDA=∠CDE，
∴∠GDE=∠GDA+∠ADE=∠CDE+∠ADE=∠ADC=90°，
∴DE⊥DG；
（2）四邊形CEFK是平行四邊形，理由如下：
證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠B=∠ECD=90°，BC=CD，
在△KBC和△ECD中
$\left\{\begin{array}{l}{BC=CD}\\{∠B=∠ECD}\\{KB=EC}\end{array}\right.$，
∴△KBC≌△ECD（SAS），
∴DE=CK，∠DEC=∠BKC，
∵∠B=90°，
∴∠KCB+∠BKC=90°，
∴∠KCB+∠DEC=90°，
∴∠EOC=180°-90°=90°，
∵四邊形DGFE是正方形，
∴DE=EF=CK，∠FED=90°=∠EOC，
∴CK∥EF，
∴四邊形CEFK是平行四邊形．

點評 此題考查的知識點是正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、平行四邊形的判定及作圖，解題的關鍵是先由正方形的性質(zhì)通過證三角形全等得出結(jié)論，此題較復雜．