Question

9．拋物線F與x軸相交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊），對稱軸為直線x=1，頂點(diǎn)C在直線y=x-5上，與y軸相交于點(diǎn)D（0，3）．
（1）求拋物線F的解析式；
（2）連結(jié)CD、BD，則線段BD與CD的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系分別為BD⊥CD，BD=3CD；
（3）點(diǎn)P為直線CD上方拋物線F上的一個動點(diǎn)，PQ⊥CD，垂足為Q，若∠QPD=∠DBC，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）先利用一次函數(shù)解析式確定頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1，-4），再設(shè)頂點(diǎn)式y(tǒng)=a（x-1）²-4，然后把D點(diǎn)坐標(biāo)代入求出a的值即可；
（2）作CH⊥y軸于H，如圖1，先判斷△OBD為等腰直角三角形得到∠ODB=45°，BD=3$\sqrt{2}$，再判斷△CDH為等腰直角三角形得到∠CDH=45°，CD=$\sqrt{2}$，所以BD⊥CD，BD=3CD；
（3）討論：當(dāng)點(diǎn)Q在點(diǎn)D在下方時(shí)，PD交BC于E點(diǎn)，如圖2，利用∠DBC=∠QPD得到∠BCD=∠PDQ，則∠BDE=∠DBE，所以ED=EC=BE，于是可得到E（2，-2），易得直線DE的解析式為y=$\frac{1}{2}$x-3，然后解方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x-3}\\{y={x}^{2}-2x-3}\end{array}\right.$可得P點(diǎn)坐標(biāo)；當(dāng)點(diǎn)Q在點(diǎn)D在上方時(shí)，如圖3，先證明∠DCB=∠QDP，則PD∥BC，易得直線BC的解析式為y=2x-6，利用兩直線平行問題可得直線PD的解析式為y=2x-3，然后解方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=2x-3}\\{y={x}^{2}-2x-3}\end{array}\right.$得此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)．

解答 解：（1）將x=1代入y=x-5得y=-4
∴頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1，-4）
設(shè)y=a（x-1）²-4，
把D（0，-3）代入得a-4=-3，解得a=1
∴拋物線解析式為y=（x-1）²-4，即y=x²-2x-3；

（2）作CH⊥y軸于H，如圖1，
∵D（0，-3），B（3，0），
∴OB=OD，
∴△OBD為等腰直角三角形，
∴∠ODB=45°，BD=3$\sqrt{2}$，
∵C（1，-4），
∴CH=DH=1，
∴△CDH為等腰直角三角形，
∴∠CDH=45°，CD=$\sqrt{2}$，
∴∠BDC=90°
∴BD⊥CD，BD=3CD，
故答案為BD⊥CD，BD=3CD，

（3）①當(dāng)點(diǎn)Q在點(diǎn)D在下方時(shí)，PD交BC于E點(diǎn)，如圖2，
∵PQ⊥CD
∴∠PQD=∠BDC=90°
又∵∠DBC=∠QPD，
∴∠BCD=∠PDQ，
∴∠BDE=∠DBE，
∴ED=EC=BE，即E為BC的中點(diǎn)，
∴E（2，-2），
易得直線DE的解析式為y=$\frac{1}{2}$x-3，
解方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x-3}\\{y={x}^{2}-2x-3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=-3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{5}{2}}\\{y=-\frac{7}{4}}\end{array}\right.$，則此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（$\frac{5}{2}$，-$\frac{7}{4}$）；
②當(dāng)點(diǎn)Q在點(diǎn)D在上方時(shí)，如圖3，
∵∠PQD=∠BDC=90°，∠DBC=∠QPD，
∴∠DCB=∠QDP，
∴PD∥BC，
易得直線BC的解析式為y=2x-6，
∴直線PD的解析式為y=2x-3，
解方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=2x-3}\\{y={x}^{2}-2x-3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=-3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=5}\end{array}\right.$，則此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（4，5）；
綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（$\frac{5}{2}$，-$\frac{7}{4}$），（4，5）．

點(diǎn)評 本題考查了二次函數(shù)的綜合題：熟練掌握二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、二次函數(shù)的性質(zhì)和等腰直角三角形的性質(zhì)；會利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，會通過解方程組求二次函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)；理解坐標(biāo)與圖形性質(zhì)；會應(yīng)用分類討論的思想解決數(shù)學(xué)問題．