Question

20．如圖，BD為矩形ABCD的對角線，AE⊥BD，垂足為E，tan∠BAE=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，BE=1，點P、Q分別在BD、AD上，連接AP、PQ，則AP+PQ的最小值為3．

Answer 1

分析 設(shè)A點關(guān)于BD的對稱點A′，連接A′D，可證明△ADA′為等邊三角形，當PQ⊥AD時，則PQ最小，所以當A′Q⊥AD時AP+PQ最小，從而可求得AP+PQ的最小值等于DE的長，可得出答案．

解答 解：
∵四邊形ABCD為矩形，且AE⊥BD，tan∠BAE=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，BE=1，
∴AB=2，AE=$\sqrt{3}$，
∵tan∠BAE=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠BAE=30°，
∴∠EAD=60°，
∵AE=$\sqrt{3}$，
∴DE=3，
如圖，設(shè)A點關(guān)于BD的對稱點為A′，連接A′D，PA′，
則A′A=2AE=2$\sqrt{3}$，AD=A′D=2$\sqrt{3}$，
∴△AA′D是等邊三角形，
∵PA=PA′，
∴當A′、P、Q三點在一條線上時，A′P+PQ最小，
又垂線段最短可知當PQ⊥AD時，A′P+PQ最小，
∴AP+PQ=A′P+PQ=A′Q=DE=$\sqrt{3}$，
故答案為：$\sqrt{3}$．

點評 本題主要考查軸對稱的應用，利用最小值的常規(guī)解法確定出A的對稱點，從而確定出AP+PQ的最小值的位置是解題的關(guān)鍵，利用條件證明△A′DA是等邊三角形，借助幾何圖形的性質(zhì)可以減少復雜的計算．