Question

10．已知G是直角三角形ABC的內心，∠C=90°，AC=6，BC=8，則線段CG的長為2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 作GD⊥AC于點D，作GE⊥BC于E，作GM⊥AB于M，連接GA、GB、GC，根據勾股定理求出AB，根據三角形的面積公式得出S_△ACB=S_△GAC+S_△GBC+S_△GAB，代入求出GE=2，由等腰直角三角形的性質和勾股定理即可得出CG的長．

解答 解：作GD⊥AC于點D，作GE⊥BC于點E，作GM⊥AB于M，連接GA、GB、GC．如圖所示：
設GM=r，則GM=GD=GE=r，
∵AC=6，BC=8，∠C=90°，
由勾股定理得：AB=10，
根據三角形的面積公式得：S_△ACB=S_△GAC+S_△GBC+S_△GAB，
∴$\frac{1}{2}$AC×BC=$\frac{1}{2}$AC×r+$\frac{1}{2}$BC×r+$\frac{1}{2}$AB×r，
即：$\frac{1}{2}$×6×8=$\frac{1}{2}$×6r+$\frac{1}{2}$×8r+$\frac{1}{2}$×10r，
解得：r=2．
則GE=2，
∵G是直角三角形ABC的內心，
∴∠GCE=$\frac{1}{2}$∠C=45°，
∴CG=$\sqrt{2}$GE=2$\sqrt{2}$；
故答案為：2$\sqrt{2}$．

點評 本題主要考查了三角形的內切圓與內心，三角形的面積，等腰直角三角形的性質，勾股定理等知識點的理解和掌握，能得出S_△ACB=S_△GAC+S_△GBC+S_△GAB是解此題的關鍵．