Question

14．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是角平分線，DE⊥AD交AB于E，△ADE的外接圓⊙O與邊AC相交于點(diǎn)F，過F作AB的垂線交AD于P，交AB于M，交⊙O于G，連接GE．
（1）求證：BC是⊙O的切線；
（2）若tan∠G=$\frac{4}{3}$，BE=4，求⊙O的半徑；
（3）在（2）的條件下，求AP的長．

Answer 1

分析 （1）連結(jié)OD，根據(jù)AD是角平分線，求出∠C=90°，得到OD⊥BC，求出BC是⊙O的切線；
（2）構(gòu)造直角三角形，根據(jù)勾股定理求出k的值即可；
（3）設(shè)FG與AE的交點(diǎn)為M，連結(jié)AG，利用三角函數(shù)和相似三角形結(jié)合勾股定理解題．

解答 （1）證明：連結(jié)OD，
∵DE⊥AD，
∴AE是⊙O的直徑，即O在AE上，
∵AD是角平分線，
∴∠1=∠2，
∵OA=OD，
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠3，
∴OD∥AC，
∵∠C=90°，
∴OD⊥BC．
∴BC是⊙O的切線；

（2）解：∵OD∥AC，
∴∠4=∠EAF，
∵∠G=∠EAF，
∴∠4=∠G，
∴tan∠4=tan∠G=$\frac{4}{3}$，
設(shè)BD=4k，則OD=OE=3k，
在Rt△OBD中，由勾股定理得（3k）²+（4k）²=（3k+4）²，
解得，k₁=2，k₂=$-\frac{1}{2}$（舍），（注：也可由OB=5k=3k+4得k=2），
∴3k=6，即⊙O的半徑為6；


（3）解：連結(jié)AG，則∠AGE=90°，∠EGM=∠5．
∴tan∠5=tan∠EGM=$\frac{4}{3}$，
即$\frac{GM}{AM}=\frac{EM}{GM}=\frac{4}{3}$，$\frac{AM}{GM}=\frac{GM}{EM}=\frac{3}{4}$，
∴$\frac{AM}{EM}=\frac{AM}{GM}•\frac{GM}{EM}=\frac{3}{4}×\frac{3}{4}=\frac{9}{16}$，
∴AM=$\frac{9}{25}$AE=$\frac{9}{25}×12$=$\frac{108}{25}$，
∵OD∥AC，
∴$\frac{OD}{AC}=\frac{OB}{AB}$，$\frac{CD}{AO}=\frac{DB}{OB}$，
即$\frac{6}{AC}=\frac{5}{8}$，$\frac{CD}{6}=\frac{8}{10}$．
∴AC=$\frac{48}{5}$，CD=$\frac{24}{5}$，
∵∠1=∠2，∠ACD=∠AMP=90°，
∴△ACD∽△AMP．
∴$\frac{PM}{AM}=\frac{CD}{AC}=\frac{1}{2}$，
∴PM=$\frac{1}{2}AM$=$\frac{54}{25}$．
∴AP=$\sqrt{P{M^2}+A{M^2}}$=$\frac{54}{25}\sqrt{5}$．

點(diǎn)評 本題考查了圓的綜合題，涉及切線的判定、勾股定理、相似三角形、特殊角的三角函數(shù)值，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．