Question

8．交通工程學(xué)理論把在單向道路上行駛的汽車看成連續(xù)的流體，并用流量、速度、密度三個概念描述車流的基本特征．其中流量q（輛/小時）指單位時間內(nèi)通過道路指定斷面的車輛數(shù)；速度v（千米/小時）指通過道路指定斷面的車輛速度；密度k（輛/千米）指通過道路指定斷面單位長度內(nèi)的車輛數(shù)．
為配合大數(shù)據(jù)治堵行動，測得某路段流量q與速度v之間關(guān)系的部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表：

速度v（千米/小時）	…	5	10	20	32	40	48	…
流量q（輛/小時）	…	550	1000	1600	1792	1600	1152	…

（1）根據(jù)上表信息，下列三個函數(shù)關(guān)系式中，刻畫q，v關(guān)系最準(zhǔn)確的是③（只填上正確答案的序號）
①q=90v+100；②q=$\frac{32000}{v}$；③q=-2v²+120v．
（2）請利用（1）中選取的函數(shù)關(guān)系式分析，當(dāng)該路段的車流速度為多少時，流量達(dá)到最大？最大流量是多少？
（3）已知q，v，k滿足q=vk，請結(jié)合（1）中選取的函數(shù)關(guān)系式繼續(xù)解決下列問題．
①市交通運(yùn)行監(jiān)控平臺顯示，當(dāng)12≤v＜18時道路出現(xiàn)輕度擁堵．試分析當(dāng)車流密度k在什么范圍時，該路段將出現(xiàn)輕度擁堵；
②在理想狀態(tài)下，假設(shè)前后兩車車頭之間的距離d（米）均相等，求流量q最大時d的值．

Answer 1

分析 （1）利用函數(shù)的增減性即可判斷；
（2）利用配方法，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可解決問題；
（3）①求出v=12或18時，定義的k的值即可解決問題；
②由題意流量q最大時d的值=流量q最大時k的值；

解答 解：（1）函數(shù)①q=90v+100，q隨v的增大而增大，顯然不符合題意．
函數(shù)②q=$\frac{32000}{v}$q隨v的增大而減小，顯然不符合題意．
故刻畫q，v關(guān)系最準(zhǔn)確的是③．
故答案為③．

（2）∵q=-2v²+120v=-2（v-30）²+1800，
∵-2＜0，
∴v=30時，q達(dá)到最大值，q的最大值為1800．

（3）①當(dāng)v=12時，q=1152，此時k=96，
當(dāng)v=18時，q=1512，此時k=84，
∴84＜k≤96．
②當(dāng)v=30時，q=1800，此時k=60，
∵在理想狀態(tài)下，假設(shè)前后兩車車頭之間的距離d（米）均相等，
∴流量q最大時d的值為$\frac{1000}{60}$=$\frac{50}{3}$m．

點(diǎn)評 本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用、最值問題等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題，屬于中考�？碱}型．