Question

16．如圖，AB是⊙O的直徑，點C在AB的延長線上，AD平分∠CAE交⊙O于點D，且AE⊥CD，垂足為點E．
（1）求證：直線CE是⊙O的切線．
（2）若BC=3，CD=3$\sqrt{2}$，求弦AD的長．

Answer 1

分析 （1）連結(jié)OD，如圖，由AD平分∠EAC得到∠1=∠3，加上∠1=∠2，則∠3=∠2，于是可判斷OD∥AE，根據(jù)平行線的性質(zhì)得OD⊥CE，然后根據(jù)切線的判定定理得到結(jié)論；
（2）由△CDB∽△CAD，可得$\frac{CD}{CA}$=$\frac{CB}{CD}$=$\frac{BD}{AD}$，推出CD²=CB•CA，可得（3$\sqrt{2}$）²=3CA，推出CA=6，推出AB=CA-BC=3，$\frac{BD}{AD}$=$\frac{3\sqrt{2}}{6}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，設(shè)BD=$\sqrt{2}$K，AD=2K，在Rt△ADB中，可得2k²+4k²=5，求出k即可解決問題．

解答 （1）證明：連接OD，如圖，
∵AD平分∠EAC，
∴∠1=∠3，
∵OA=OD，
∴∠1=∠2，
∴∠3=∠2，
∴OD∥AE，
∵AE⊥DC，
∴OD⊥CE，
∴CE是⊙O的切線；

（2）連接BD．
∵∠CDO=∠ADB=90°，
∴∠2=∠CDB=∠1，∵∠C=∠C，
∴△CDB∽△CAD，
∴$\frac{CD}{CA}$=$\frac{CB}{CD}$=$\frac{BD}{AD}$，
∴CD²=CB•CA，
∴（3$\sqrt{2}$）²=3CA，
∴CA=6，
∴AB=CA-BC=3，$\frac{BD}{AD}$=$\frac{3\sqrt{2}}{6}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，設(shè)BD=$\sqrt{2}$K，AD=2K，
在Rt△ADB中，2k²+4k²=9，
∴k=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
∴AD=$\sqrt{6}$．

點評 本題考查切線的判定和性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、切線的判定、勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是學會填空常用輔助線，靈活運用所學知識解決問題，屬于中考�？碱}型．