Question

15．若關(guān)于x的二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a＞0，c＞0，a，b，c是常數(shù)）與x軸交于兩個不同的點A（x₁，0），B（x₂，0）（0＜x₁＜x₂），與y軸交于點P，其圖象頂點為點M，點O為坐標原點．
（1）當x₁=c=2，a=$\frac{1}{3}$時，求x₂與b的值；
（2）當x₁=2c時，試問△ABM能否為等邊三角形？判斷并證明你的結(jié)論；
（3）當x₁=mc（m＞0）時，記△MAB，△PAB的面積分別為S₁，S₂，若△BPO∽△PAO，且S₁=S₂，求m的值．

Answer 1

分析 （1）設(shè)ax²+bx+c=0的兩根為x₁、x₂，把a、c代入得：$\frac{1}{3}$x²+bx+2=0，根據(jù)x₁=2是它的一個根，求出b，再根據(jù)$\frac{1}{3}$x²-$\frac{5}{3}$x+2=0，即可求出另一個根，
（2）根據(jù)x₁=2c時，x₂=$\frac{1}{2a}$，得出b=-（2ac+$\frac{1}{2}$），4ac=-2b-1，根據(jù)M的坐標為（-$\frac{2a}$，$\frac{4ac-^{2}}{4a}$），得出當△ABM為等邊三角形時|$\frac{4ac-^{2}}{4a}$|=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（$\frac{1}{2a}$-2c），求出b₁=-1，b₂=2$\sqrt{3}$-1（舍去），最后根據(jù)4ac=-2b-1=1，得出2c=$\frac{1}{2a}$，A、B重合，△ABM不可能為等邊三角形；
（3）根據(jù)△BPO∽△PAO，得出$\frac{OP}{AO}$=$\frac{BO}{OP}$，ac=1，由S₁=S₂得出b²=4a•2c=8ac=8，求出b=-2$\sqrt{2}$，最后根據(jù)$\frac{1}{c}$x²-2$\sqrt{2}$x+c=0得出x=（$\sqrt{2}$-1）c，從而求出m．

解答 解：（1）設(shè)ax²+bx+c=0的兩根為x₁、x₂，
把a=$\frac{1}{3}$，c=2代入得：$\frac{1}{3}$x²+bx+2=0，
∵x₁=2是它的一個根，
∴$\frac{1}{3}$×2²+2b+2=0，
解得：b=-$\frac{5}{3}$，
∴方程為：$\frac{1}{3}$x²-$\frac{5}{3}$x+2=0，
∴另一個根為x₂=3；
（2）當x₁=2c時，x₂=$\frac{\frac{c}{a}}{{x}_{1}}$=$\frac{1}{2a}$，
此時b=-a（x₁+x₂）=-（2ac+$\frac{1}{2}$），4ac=-2b-1，
∵M（-$\frac{2a}$，$\frac{4ac-^{2}}{4a}$），
當△ABM為等邊三角形時|$\frac{4ac-^{2}}{4a}$|=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AB，
即|$\frac{4ac-^{2}}{4a}$|=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（$\frac{1}{2a}$-2c），
∴|$\frac{4ac-^{2}}{4a}$|=$\frac{\sqrt{3}}{2}$•$\frac{1+2b+1}{2a}$，
∴b²+2b+1=$\sqrt{3}$（1+2b+1），
解得：b₁=-1，b₂=2$\sqrt{3}$-1（舍去），
此時4ac=-2b-1=1，即2c=$\frac{1}{2a}$，A、B重合，
∴△ABM不可能為等邊三角形；

（3）∵△BPO∽△PAO，
∴$\frac{OP}{AO}$=$\frac{BO}{OP}$，即x₁x₂=c²=$\frac{c}{a}$，
∴ac=1，
a=$\frac{1}{c}$，
由S₁=S₂得c=|$\frac{4ac-^{2}}{4a}$|=$\frac{^{2}}{4a}$-c，
∴b²=4a•2c=8ac=8，
∴b₁=-2$\sqrt{2}$，b₂=2$\sqrt{2}$（舍去），
方程可變形為$\frac{1}{c}$x²-2$\sqrt{2}$x+c=0，
∴x₁=$\frac{2\sqrt{2}-\sqrt{4}}{2•\frac{1}{c}}$=$\frac{2\sqrt{2}-2}{2•\frac{1}{c}}$=（$\sqrt{2}$-1）c，
x₂=$\frac{2\sqrt{2}+\sqrt{4}}{2•\frac{1}{c}}$=（$\sqrt{2}$+1）c，
∵x₁＜x₂，x₁=mc
∴mc=（$\sqrt{2}$-1）c，
∴m=（$\sqrt{2}$-1）．

點評 此題考查了二次函數(shù)綜合，用到的知識點是二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、一元二次方程，關(guān)鍵是綜合運用有關(guān)知識求解，注意把不合題意的解舍去．