Question

4．如圖，反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（k≠0，x＞0）的圖象與直線y=3x相交于點C，過直線上點A（1，3）作AB⊥x軸于點B，交反比例函數(shù)圖象于點D，且AB=3BD．
（1）求k的值；
（2）求點C的坐標；
（3）在y軸上確定一點M，使點M到C、D兩點距離之和d=MC+MD最小，求點M的坐標．

Answer 1

分析 （1）根據A坐標，以及AB=3BD求出D坐標，代入反比例解析式求出k的值；
（2）直線y=3x與反比例解析式聯(lián)立方程組即可求出點C坐標；
（3）作C關于y軸的對稱點C′，連接C′D交y軸于M，則d=MC+MD最小，得到C′（-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\sqrt{3}$），求得直線C′D的解析式為y=-$\sqrt{3}$x+1+$\sqrt{3}$，直線與y軸的交點即為所求．

解答 解：（1）∵A（1，3），
∴AB=3，OB=1，
∵AB=3BD，
∴BD=1，
∴D（1，1）
將D坐標代入反比例解析式得：k=1；

（2）由（1）知，k=1，
∴反比例函數(shù)的解析式為；y=$\frac{1}{x}$，
解：$\left\{\begin{array}{l}{y=3x}\\{y=\frac{1}{x}}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{3}}{3}}\\{y=\sqrt{3}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{\sqrt{3}}{3}}\\{y=-\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
∵x＞0，
∴C（$\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\sqrt{3}$）；

（3）如圖，作C關于y軸的對稱點C′，連接C′D交y軸于M，則d=MC+MD最小，
∴C′（-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\sqrt{3}$），
設直線C′D的解析式為：y=kx+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{3}=-\frac{\sqrt{3}}{3}k+b}\\{1=k+b}\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}{k=3-2\sqrt{3}}\\{b=-2+2\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
∴y=（3-2$\sqrt{3}$）x+2$\sqrt{3}$-2，
當x=0時，y=2$\sqrt{3}$-2，
∴M（0，2$\sqrt{3}$-2）．

點評 此題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，涉及的知識有：坐標與圖形性質，待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，以及直線與反比例的交點求法，熟練掌握待定系數(shù)法是解本題的關鍵．