Question

15．如圖，AB是⊙O的直徑，BC⊥AB于點(diǎn)B，連接OC、BD相交于點(diǎn)E，弦AD∥OC，弦DF⊥AB于點(diǎn)G．
（1）求證：OC垂直平分BD，
（2）求證：CD是⊙O的切線；
（3）若cos∠BAD=$\frac{3}{5}$，⊙O的半徑為5，求DF的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)AD∥OC可得∠A=∠COB，OC⊥BD，從而判定$\widehat{DE}$=$\widehat{BE}$，根據(jù)垂徑定理即可證得OC垂直平分BD；
（2）連接OD，只要證明∠CDO=90°即可；
（3）在△ADG中用勾股定理求解．

解答 （1）證明：連接OD，BD；
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°，
∵AD∥OC，
∴∠A=∠COB，
∵∠A=$\frac{1}{2}$∠BOD，
∴∠BOC=$\frac{1}{2}$∠BOD；
∴∠DOC=∠BOC；
∴$\widehat{DE}$=$\widehat{BE}$，
∴OC垂直平分BD．

（2）證明：如圖所示：
由（1）知∠DOE=∠BOE，
在△COD和△COB中
$\left\{\begin{array}{l}{OD=OB}\\{∠DOE=∠BOE}\\{OC=OC}\end{array}\right.$
∴△COD≌△COB（SAS）；
∴∠CDO=∠B；
又∵BC⊥AB，
∴∠CDO=∠B=90°；
∴CD是⊙O的切線；

（3）解：在△ADG中，∵cos∠BAD=$\frac{AG}{AD}$，
設(shè)AG=3x，AD=5x；
∵DF⊥AB，
∴DG=4x；
又∵⊙O的半徑為5，
∴OG=5-3x；
∵OD²=DG²+OG²，
∴5²=（4x）²+（5-3x）²；
∴x₁=$\frac{6}{5}$，x₂=0；（舍去）
∴DF=2DG=2×4x=8x=8×$\frac{6}{5}$=$\frac{48}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題綜合考查了切線的判定與性質(zhì)、圓周角定理以及勾股定理．要證某線是圓的切線，已知此線過(guò)圓上某點(diǎn)，連接圓心與這點(diǎn)（即為半徑），再證垂直即可．