Question

2．如圖1，拋物線y=ax²-3ax-4a（a＜0）交x軸于點(diǎn)A、B（A左B右），交y軸正半軸于點(diǎn)C．
（1）求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）點(diǎn)D在拋物線在第一象限的部分上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)∠ACB=90°時(shí)，
①求拋物線的解析式；
②當(dāng)四邊形OCDB的面積最大時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；
③如圖2，若E為BC的中點(diǎn)，DE的延長線交線段AB于點(diǎn)F，當(dāng)△BEF為鈍角三角形時(shí)，請直接寫出點(diǎn)D的縱坐標(biāo)y的范圍．

Answer 1

分析 （1）y=0，即可得到0=ax²-3ax-4a，從而得到A（-1，0），B（4，0）；
（2）①根據(jù)射影定理得，CO²=A0•BO，即可得出結(jié)果；
②求出BC解析式，根據(jù)S_OCDB=4+$\frac{1}{2}$×4×（-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2+$\frac{1}{2}$x-2）即可求出當(dāng)四邊形OCDB的面積最大時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo)；
③分兩種情況討論：當(dāng)90°＜∠FEB＜180°時(shí)，$\frac{13}{9}$＜y＜-4+$\sqrt{41}$；當(dāng)90°＜∠EFB＜180°，2＜y＜3．

解答 解：（1）令y=0，則0=ax²-3ax-4a，
∴x=4，x=-1，
∴A（-1，0），B（4，0）．
（2）①∵∠ACB=90°，CO⊥AB，
∴根據(jù)射影定理得，CO²=A0•BO，
∴CO=2，
∴-4a=2，
∴a=-$\frac{1}{2}$，
∴拋物線解析式y(tǒng)=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2
 ②如圖1，設(shè)BC解析式為y=kx+b，
把B（4，0），C（0，2）分別代入解析式得，
$\left\{\begin{array}{l}4k+b=0\\ b=2\end{array}\right.$，解得，$\left\{\begin{array}{l}k=-\frac{1}{2}\\ b=2\end{array}\right.$，
則BC解析式為y=-$\frac{1}{2}$x+2，設(shè)D（x，-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2），
∴S_OCDB=4+$\frac{1}{2}$×4×（-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2+$\frac{1}{2}$x-2）=4-x²+4x，
∴當(dāng)x=2，S最大，
∴D（2，3）．
③如圖2，
∵B（4，0），C（0，2），
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（2，1），
當(dāng)FD⊥BC時(shí)，設(shè)FD解析式為y=2x+m，
將（2，1）代入解析式得，m=-3，
函數(shù)解析式為y=2x-3，
與y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2組成方程組得，
$\left\{\begin{array}{l}y=2x-3\\ y=-\frac{1}{2}{x}^{2}+\frac{3}{2}x+2\end{array}\right.$，
解得，y₁=-4+$\sqrt{41}$，y₂=-4-$\sqrt{41}$（舍去）．                              
設(shè)AD₁的解析式為y=sx+t，
將E（2，1）和A（-1，0）分別代入解析式得，
$\left\{\begin{array}{l}2s+t=1\\-s+t=0\end{array}\right.$，
解得，$\left\{\begin{array}{l}s=\frac{1}{3}\\ t=\frac{1}{3}\end{array}\right.$，
解析式為y=$\frac{1}{3}$x+$\frac{1}{3}$．
與y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2組成方程組得，
$\left\{\begin{array}{l}y=\frac{1}{3}x+\frac{1}{3}\\ y=-\frac{1}{2}{x}^{2}+\frac{3}{2}x+2\end{array}\right.$
解得，y₃=0（舍去），y₄=$\frac{13}{9}$．
當(dāng)90°＜∠FEB＜180°時(shí)，$\frac{13}{9}$≤y＜-4+$\sqrt{41}$；
如圖3，D₃E⊥x軸時(shí)，得D₃（2，3），
當(dāng)90°＜∠EFB＜180°時(shí)，2＜y＜$\frac{25}{8}$．

點(diǎn)評 本題考查了二次函數(shù)綜合題，涉及待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式、二次函數(shù)解析式、二次函數(shù)最值、中點(diǎn)坐標(biāo)公式，要注意數(shù)形結(jié)合求y的取值范圍．