Question

18．已知：?ABCD的兩邊AB、AD的長是關(guān)于x的方程x²-mx+$\frac{\sqrt{3}}{2}$m-$\frac{3}{4}$=0的兩個實數(shù)根．
（1）m為何值時，四邊形ABCD是菱形？
（2）若AB的長為2$\sqrt{3}$，則?ABCD的周長是多少？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)菱形的判定方法，當AB=AD時，?ABCD為菱形，再利用根的判別式的意義得到△=m²-4（$\frac{\sqrt{3}}{2}$m-$\frac{3}{4}$）=0，然后解關(guān)于m的方程即可；
（2）利用方程根的定義，把x=2$\sqrt{3}$代入方程x²-mx+$\frac{\sqrt{3}}{2}$m-$\frac{3}{4}$=0可求出m=$\frac{5\sqrt{3}}{2}$，則方程化為x²-$\frac{5\sqrt{3}}{2}$x+3=0，再解方程AD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，然后計算?ABCD的周長．

解答 解：（1）當AB=AD時，?ABCD為菱形，
此時方程x²-mx+$\frac{\sqrt{3}}{2}$m-$\frac{3}{4}$=0的兩個相等的實數(shù)根，
所以△=m²-4（$\frac{\sqrt{3}}{2}$m-$\frac{3}{4}$）=0，解得m₁=m₂=$\sqrt{3}$，
即m為$\sqrt{3}$時，四邊形ABCD是菱形；
（2）根據(jù)題意得2$\sqrt{3}$為關(guān)于x的方程x²-mx+$\frac{\sqrt{3}}{2}$m-$\frac{3}{4}$=0的實數(shù)根，
所以12-2$\sqrt{3}$m+$\frac{\sqrt{3}}{2}$m-$\frac{3}{4}$=0，解得m=$\frac{5\sqrt{3}}{2}$
方程化為x²-$\frac{5\sqrt{3}}{2}$x+3=0，解得x₁=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，x₂=2$\sqrt{3}$，
即AB=2$\sqrt{3}$，AD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
所以?ABCD的周長=2（AB+AD）=4$\sqrt{3}$+$\sqrt{3}$=5$\sqrt{3}$．

點評 本題考查了菱形的判定與性質(zhì)：菱形是在平行四邊形的前提下定義的，首先它是平行四邊形，但它是特殊的平行四邊形，特殊之處就是“有一組鄰邊相等”，因而就增加了一些特殊的性質(zhì)和不同于平行四邊形的判定方法．也考查了根的判別式．