Question

13．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線l：y=-$\frac{4}{3}$x+4分別交x軸，y軸于點(diǎn)A，B，直線A′B′分別交x軸，y軸于點(diǎn)B′，A′，且△AOB≌△A′OB′．
（1）求直線A′B′的函數(shù)解析式．
（2）直線A′B′與直線1交于點(diǎn)C，求△A′BC的面積．

Answer 1

分析 （1）由直線l的函數(shù)解析式求得A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等得出A'、B'兩點(diǎn)坐標(biāo)，待定系數(shù)法求得直線A'B'的解析式；
（2）聯(lián)立兩直線的解析式，求出C點(diǎn)坐標(biāo)，再計(jì)算出△A'BC的面積．

解答 解：（1）由直線l：y=-$\frac{4}{3}$x+4分別交x軸，y軸于點(diǎn)A、B．
可知：A（3，0），B（0，4）；
∵△AOB≌△A′OB′，
∴A′（0，-3），B′（4，0）．
設(shè)直線A′B′的解析式為y=kx+b（k≠0，k，b為常數(shù)）
∴有$\left\{\begin{array}{l}{b=-3}\\{4k+b=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{3}{4}}\\{b=-3}\end{array}\right.$
∴直線A′B′的解析式為y=$\frac{3}{4}$x-3

（2）由題意得：$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{3}{4}x-3}\\{y=-\frac{4}{3}x+4}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{84}{25}}\\{y=-\frac{12}{25}}\end{array}\right.$，
∴C（$\frac{84}{25}$，-$\frac{12}{25}$），
又A′B=7，
∴S_△A′BC=$\frac{1}{2}$×7×$\frac{84}{25}$=$\frac{294}{25}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了兩直線相交或平行的問(wèn)題，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出點(diǎn)A′、B′的坐標(biāo)，待定系數(shù)法求出直線A′B′的解析式是解答此題的關(guān)鍵．