Question

14．如圖，在正方形ABCD的邊BA的延長線上作等腰直角△AEF，連接DF，延長BE交DF于G．若FG=3，EG=1，則線段AG的長為2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 根據(jù)正方形的性質(zhì)可得AB=AD，等腰直角三角形的性質(zhì)可得AE=AF，然后利用“邊角邊”證明△ABE和△ADF全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得BE=DF，全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠ABE=∠ADG，在BE上截取BH=DG，然后利用“邊角邊”證明△ABH和△ADG全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得AG=AH，全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠BAH=∠DAG，求出∠GAH=90°，再判斷出△AGH是等腰直角三角形，然后求出FG=EH，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得AG=$\frac{\sqrt{2}}{2}$GH．

解答 解：在正方形ABCD中，AB=AD，
∵△AEF是等腰直角三角形，
∴AE=AF，
在△ABE和△ADF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{∠BAE=∠DAF=90°}\\{AE=AF}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△ADF（SAS），
∴BE=DF，∠ABE=∠ADG，
如圖，在BE上截取BH=DG，
則EH=BE-BH=DF-DG=FG，
在△ABH和△ADG中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{∠ABE=∠ADG}\\{BH=DG}\end{array}\right.$，
∴△ABH≌△ADG（SAS），
∴AG=AH，∠BAH=∠DAG，
∴∠GAH=∠DAG+∠DAH=∠BAH+∠DAH=∠BAD=90°，
∴△AGH是等腰直角三角形，
∵EH=FG=3，EG=1，
∴GH=3+1=4，
∴AG=$\frac{\sqrt{2}}{2}$GH=$\frac{\sqrt{2}}{2}$×4=2$\sqrt{2}$．
故答案為2$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，難點(diǎn)在于作輔助線構(gòu)造出全等三角形和等腰直角三角形．