Question

7．如圖，已知一次函數(shù)y=-$\frac{4}{3}$x+4的圖象是直線l，設(shè)直線l分別與y軸、x軸交于點(diǎn)A、B．
（1）求線段AB的長度；
（2）設(shè)點(diǎn)M在射線AB上，將點(diǎn)M繞點(diǎn)A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°到點(diǎn)N，以點(diǎn)N為圓心，NA的長為半徑作⊙N．
①當(dāng)⊙N與x軸相切時，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；
②在①的條件下，設(shè)直線AN與x軸交于點(diǎn)C，與⊙N的另一個交點(diǎn)為D，連接MD交x軸于點(diǎn)E，直線m過點(diǎn)N分別與y軸、直線l交于點(diǎn)P、Q，當(dāng)△APQ與△CDE相似時，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）由一次函數(shù)解析式容易求得A、B的坐標(biāo)，利用勾股定理可求得AB的長度；
（2）①根據(jù)同角的三角函數(shù)得：tan∠OAB=$\frac{OB}{OA}=\frac{EM}{AE}$=$\frac{3}{4}$，設(shè)EM=3x，AE=4x，則AM=5x，得M（3x，-4x+4），證明△AHN≌△MEA，則AH=EM=3x，根據(jù)NG=OH，列式可得x的值，計算M的坐標(biāo)即可；
②如圖2，先計算E與G重合，易得∠QAP=∠OAB=∠DCE，所以△APQ與△CDE相似時，頂點(diǎn)C必與頂點(diǎn)A對應(yīng)，可分兩種情況進(jìn)行討論：
i）當(dāng)△DCE∽△QAP時，證明△ACO∽△NCE，列比例式可得CO=$\frac{16}{3}$，根據(jù)三角函數(shù)得：tan∠QNA=tan∠DNF=$\frac{DF}{NF}=\frac{AQ}{AN}$，AQ=20，則tan∠QAH=tan∠OAB=$\frac{3}{4}$=$\frac{QH}{AH}$，設(shè)QH=3x，AH=4x，則AQ=5x，
求出x的值，得P（0，14）；
ii）當(dāng)△DCE∽△PAQ時，如圖3，先證明B與Q重合，由AN=AP可得P（0，-6）．

解答 解：（1）當(dāng)x=0時，y=4，
∴A（0，4），
∴OA=4，
當(dāng)y=0時，-$\frac{4}{3}$x+4=0，
x=3，
∴B（3，0），
∴OB=3，
由勾股定理得：AB=5；
（2）①如圖1，過N作NH⊥y軸于H，過M作ME⊥y軸于E，
tan∠OAB=$\frac{OB}{OA}=\frac{EM}{AE}$=$\frac{3}{4}$，
∴設(shè)EM=3x，AE=4x，則AM=5x，
∴M（3x，-4x+4），
由旋轉(zhuǎn)得：AM=AN，∠MAN=90°，
∴∠EAM+∠HAN=90°，
∵∠EAM+∠AME=90°，
∴∠HAN=∠AME，
∵∠AHN=∠AEM=90°，
∴△AHN≌△MEA，
∴AH=EM=3x，
∵⊙N與x軸相切，設(shè)切點(diǎn)為G，連接NG，則NG⊥x軸，
∴NG=OH，
則5x=3x+4，
2x=4，
x=2，
∴M（6，-4）；
②如圖2，由①知N（8，10），
∵AN=DN，A（0，4），
∴D（16，16），
設(shè)直線DM：y=kx+b，
把D（16，16）和M（6，-4）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{16k+b=16}\\{6k+b=-4}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=2}\\{b=-16}\end{array}\right.$，
∴直線DM的解析式為：y=2x-16，
∵直線DM交x軸于E，
∴當(dāng)y=0時，2x-16=0，
x=8，
∴E（8，0），
由①知：⊙N與x軸相切，切點(diǎn)為G，且G（8，0），
∴E與切點(diǎn)G重合，
∵∠QAP=∠OAB=∠DCE，
∴△APQ與△CDE相似時，頂點(diǎn)C必與頂點(diǎn)A對應(yīng)，
分兩種情況：
i）當(dāng)△DCE∽△QAP時，如圖2，∠AQP=∠NDE，
∵∠QNA=∠DNF，
∴∠NFD=∠QAN=90°，
∵AO∥NE，
∴△ACO∽△NCE，
∴$\frac{AO}{NE}=\frac{CO}{CE}$，
∴$\frac{4}{10}=\frac{CO}{CO+8}$，
∴CO=$\frac{16}{3}$，
連接BN，
∴AB=BE=5，
∵∠BAN=∠BEN=90°，
∴∠ANB=∠ENB，
∵EN=ND，
∴∠NDE=∠NED，
∵∠CNE=∠NDE+∠NED，
∴∠ANB=∠NDE，
∴BN∥DE，
Rt△ABN中，BN=$\sqrt{1{0}^{2}+{5}^{2}}$=5$\sqrt{5}$，
sin∠ANB=∠NDE=$\frac{AB}{BN}=\frac{NF}{DN}$，
∴$\frac{5}{5\sqrt{5}}=\frac{NF}{10}$，
∴NF=2$\sqrt{5}$，
∴DF=4$\sqrt{5}$，
∵∠QNA=∠DNF，
∴tan∠QNA=tan∠DNF=$\frac{DF}{NF}=\frac{AQ}{AN}$，
∴$\frac{4\sqrt{5}}{2\sqrt{5}}=\frac{AQ}{10}$，
∴AQ=20，
∵tan∠QAH=tan∠OAB=$\frac{3}{4}$=$\frac{QH}{AH}$，
設(shè)QH=3x，AH=4x，則AQ=5x，
∴5x=20，
x=4，
∴QH=3x=12，AH=16，
∴Q（-12，20），
同理易得：直線NQ的解析式：y=-$\frac{1}{2}$x+14，
∴P（0，14）；
ii）當(dāng)△DCE∽△PAQ時，如圖3，
∴∠APN=∠CDE，
∵∠ANB=∠CDE，
∵AP∥NG，
∴∠APN=∠PNE，
∴∠APN=∠PNE=∠ANB，
∴B與Q重合，
∴AN=AP=10，
∴OP=AP-OA=10-4=6，
∴P（0，-6）；
綜上所述，△APQ與△CDE相似時，點(diǎn)P的坐標(biāo)的坐標(biāo)（0，14）或（0，-6）．

點(diǎn)評 本題是一次函數(shù)的綜合題，考查了利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式、三角形全等和相似的性質(zhì)和判定、三角函數(shù)、直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，并采用了分類討論的思想解決問題，第（2）問中的2小問有難度，正確畫出圖形是關(guān)鍵，并確定其相似的對應(yīng)關(guān)系．