Question

5．若拋物線y=x²-4x+2-t（t為實(shí)數(shù)）在0＜x＜$\frac{5}{2}$的范圍內(nèi)與x軸有公共點(diǎn)，則t的取值范圍為（　　）

• A． -2＜t＜2
• B． -2≤t＜2
• C． -$\frac{7}{4}$＜t＜2
• D． t≥-2

Answer 1

分析 先利用配方法得到拋物線的頂點(diǎn)為（2，-t），再分類討論：當(dāng)拋物線與x軸的公共點(diǎn)為頂點(diǎn)時，-t=0，解得t=0；當(dāng)拋物線在0＜x＜3的范圍內(nèi)與x軸有公共點(diǎn)，如圖，頂點(diǎn)在x軸下方，所以t＞0，當(dāng)拋物線在原點(diǎn)與對稱軸之間與x軸有交點(diǎn)時，x=0，y＞0，所以4-t＞0，解得t＜4；當(dāng)拋物線在（3，0）與對稱軸之間與x軸有交點(diǎn)時x=3，y＞0，即1-t＞0，解得t＜1，所以此時t的范圍為0＜t＜4，綜上兩種情況即可得到t的范圍為0≤t＜4．

解答 解：y=x²-4x+2-t=（x-2）²-2-t，
拋物線的頂點(diǎn)為（2，-2-t），
當(dāng)拋物線與x軸的公共點(diǎn)為頂點(diǎn)時，-2-t=0，解得t=-2，
當(dāng)拋物線在0＜x＜$\frac{5}{2}$的范圍內(nèi)與x軸有公共點(diǎn)，
如圖，-t-2＜0，解得t＞-2，則x=0時，y＞0，即2-t＞0，解得t＜2；
當(dāng)x=$\frac{5}{2}$時，y＞0，即-$\frac{7}{4}$-t＞0，解得t＜-$\frac{7}{4}$，此時t的范圍為t＜-$\frac{7}{4}$，
綜上所述，t的范圍為-2≤t＜2．
故選B．

點(diǎn)評 本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)：把求二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為解關(guān)于x的一元二次方程．運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想是解決本題的關(guān)鍵．