Question

9．如圖，我市云臺山景區(qū)內(nèi)一條筆直的公路a經(jīng)過三個景點A、B、C，現(xiàn)在市政府決定開發(fā)風(fēng)景優(yōu)美的景點D．經(jīng)測量景點D位于景點A的北偏東30°方向12km處，位于景點B的正北方向，還位于景點C的北偏西75°方向上．已知AB=4$\sqrt{3}$km．
（1）現(xiàn)準(zhǔn)備由景點D向公路a修建一條距離最短的公路，不考慮其他因素，求出這條公路的長；
（2）求出景點B與景點C之間的距離（結(jié)果保留根號）．

Answer 1

分析 （1）過點D作DE⊥AC于點E，過點A作AF⊥DB，交DB的延長線于點F，求DE的問題就可以轉(zhuǎn)化為求∠DBE的度數(shù)或三角函數(shù)值的問題．
（2）Rt△DCE中根據(jù)三角函數(shù)就可以求出BE，CE的長，即可解決問題．

解答 解：（1）如圖，過點D作DE⊥AC于點E，
過點A作AF⊥DB，交DB的延長線于點F，
在Rt△DAF中，∠ADF=30°，
∴AF=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{1}{2}$×12=6，
∴DF=$\sqrt{A{D}^{2}-A{F}^{2}}$=6 $\sqrt{3}$，
在Rt△ABF中BF=$\sqrt{A{B}^{2}-A{F}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
∴BD=DF-BF=6$\sqrt{3}$-2$\sqrt{3}$=4$\sqrt{3}$，
sin∠ABF=$\frac{AF}{AB}$=$\frac{6}{4\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴∠ABF=∠DBE=60°，
在Rt△DBE中，DE=BD•sin60°=6（km），
∴景點D向公路a修建的這條公路的長約是6km；

（2）由題意可知∠CDB=75°，
∴∠DCE=180°-60°-75°=45°，
∴DE=CE=6（km），BE=$\frac{1}{2}$BD=2$\sqrt{3}$
∴BC=BE+CE=2$\sqrt{3}$+6（km）
∴景點C與景點B之間的距離約為（2$\sqrt{3}$+6）km．

點評 本題主要考查解直角三角形問題，方位角等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題，屬于中考�？碱}型．