Question

11．如圖，直線y=-3x+3與x軸、y軸分別交于點A、B，拋物線y=（x-h）²+k經(jīng)過點A、B，其頂點為P．在拋物線的對稱軸上是否存在一點Q，連接QA、QB，并將△ABQ沿AB翻折，得到菱形AQBQ′？若存在，請求出點Q的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 先求得點A、B的坐標(biāo)，然后將點A和點B的坐標(biāo)代入拋物線的解析式可求得h=2，由翻折的性質(zhì)和菱形的判定定理可知當(dāng)QB=QA時，四邊形AQBQ′為菱形，設(shè)點Q的坐標(biāo)為（2，a），由兩點間的距離公式列出關(guān)于a的方程求解即可．

解答 解：如圖所示：

把y=0代入直線y=-3x+3得：-3x+3=0，解得x=1，
∴A（1，0）．
把x=0代入直線y=-3x+3得：y=3，
∴B（0，3）．
將（1，0）、（0，3）代入拋物線的解析式得：$\left\{\begin{array}{l}{{h}^{2}+k=3}\\{（1-h）^{2}+k=0}\end{array}\right.$，解得：h=2，k=-1，
∴拋物線的對稱軸為x=2．
由翻折的性質(zhì)可知BQ′=BQ，AQ=AQ′．
∴當(dāng)QB=QA時，四邊形AQBQ′為菱形．
設(shè)點Q的坐標(biāo)為（2，a），由兩點間的距離公式可知：（2-1）²+a²=2²+（3-a）²，解得a=2，
∴點Q的坐標(biāo)為（2，2）．

點評 本題主要考查的是二次函數(shù)與x軸的交點問題，判斷出四邊形AQBQ′為菱形的條件是解題的關(guān)鍵．