Question

20．如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，AC=2AB，O為AC的中點(diǎn)．AD為高，OG⊥AC，交AD的延長(zhǎng)于G，OB交AD于F，OE⊥OB交BC于E．
（1）求證：△AOG≌△BAC；
（2）求證：△ABF≌△COE；
（3）求證：BC=CE+FG．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)AAS即可證明△AOG≌△BAC；
（2）先證明∠C=∠BAD=∠G，再證明∠AFB=∠OEC，根據(jù)AAS推出即可；
（3）由△AOG≌△BAC，推出BC=AG，由△BAF≌△CEO，推出AF=CE，即可得出答案．

解答 證明：（1）∵AC=2AB，O為AC的中點(diǎn)，
∴AB=AO=OC，
∵∠BAC=90°，OG⊥AC，
∴∠BAC=∠AOG=90°，
∵AD為高，
∴∠C+∠CAD=∠G+∠CAD=90°，
∴∠C=∠G，
在△BAC和△AOG中
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAC=∠AOG}\\{∠C=∠G}\\{AB=AO}\end{array}\right.$，
∴△AOG≌△BAC；
（2）∵∠BAC=∠AOG=90°，
∴∠BAC+∠AOG=180°，
∴AB∥OG，
∴∠G=∠BAD，
∵AD⊥BC，
∴∠BDA=∠BAC=90°，
∴∠ABC+∠BAD=90°，∠ABC+∠C=90°，
∴∠C=∠BAD，
∴∠C=∠G，
∵OB⊥OE，
∴∠BOE=90°，
∵∠BFA=∠BDA+∠OBE=90°+∠OBE，∠OEC=∠BOE+∠OBE=90°+∠OBE，
∴∠BFA=∠OEC，
在△ABF和△COE中
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAF=∠ECO}\\{∠AFB=∠CEO}\\{AB=OC}\end{array}\right.$，
∴△ABF≌△COE（AAS）．
（3）證明：∵△AOG≌△BAC，
∴AG=BC，
∵△ABF≌△COE（AAS），
∴AF=CE，
∴BC=AG=FG+CE．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角形外角性質(zhì)，垂直定義以及全等三角形的性質(zhì)和判定，熟練運(yùn)用全等三角形的判定方法是解決問題的關(guān)鍵．