Question

20．如圖，一個(gè)半徑為r的圓形紙片在邊長為a$（a≥2\sqrt{3}r）$的等邊三角形內(nèi)任意運(yùn)動(dòng)，則在該等邊三角形內(nèi)，這個(gè)圓形紙片“不能接觸到的部分”的面積是（　�。�

• A． $（3\sqrt{3}-π）{r^2}$
• B． $\frac{{（3\sqrt{3}-π）}}{3}{r^2}$
• C． $\frac{π}{3}{r^2}$
• D． πr²

Answer 1

分析 過圓形紙片的圓心O₁作兩邊的垂線，垂足分別為D，E，連AO₁，則在Rt△ADO₁中，可求得AD=$\sqrt{3}$r．四邊形ADO₁E的面積等于三角形ADO₁的面積的2倍，還可求出扇形O₁DE的面積，所求面積等于四邊形ADO₁E的面積減去扇形O₁DE的面積的三倍．

解答 解：如圖，當(dāng)圓形紙片運(yùn)動(dòng)到與∠A的兩邊相切的位置時(shí)，
過圓形紙片的圓心O₁作兩邊的垂線，垂足分別為D，E，
連AO₁，則Rt△ADO₁中，∠O₁AD=30°，O₁D=r，AD=$\sqrt{3}$r．
則S_△ADO1=$\frac{1}{2}$O₁D•AD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$r²，S_{四邊形ADO1E}=2S_△ADO1=$\sqrt{3}$r²．
∵由題意，∠DO₁E=120°，得S_扇形O1DE=$\frac{π}{3}$r²，
∴圓形紙片不能接觸到的部分的面積為3（$\sqrt{3}$r²-$\frac{π}{3}$r²）=（3$\sqrt{3}$-π）r²．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了軌跡，扇形面積的計(jì)算、等邊三角形的性質(zhì)和切線的性質(zhì)，求出四邊形ADO₁E的面積與扇形O₁DE的面積是解題的關(guān)鍵．