Question

3．如圖，直線l₁的函數(shù)解析式為y=-2x+4，且l₁與x軸交于點(diǎn)D，直線l₂經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、B，直線l₁、l₂交于點(diǎn)C．
（1）求直線l₂的函數(shù)解析式；
（2）求△ADC的面積；
（3）在直線l₂上是否存在點(diǎn)P，使得△ADP面積是△ADC面積的2倍？如果存在，請(qǐng)求出P坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)點(diǎn)A、B的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法即可求出直線l₂的函數(shù)解析式；
（2）令y=-2x+4=0求出x值，即可得出點(diǎn)D的坐標(biāo)，聯(lián)立兩直線解析式成方程組，解方程組即可得出點(diǎn)C的坐標(biāo)，再根據(jù)三角形的面積即可得出結(jié)論；
（3）假設(shè)存在，根據(jù)兩三角形面積間的關(guān)系|y_P|=2|y_C|=4，再根據(jù)一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征即可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解答 解：（1）設(shè)直線l₂的函數(shù)解析式為y=kx+b，
將A（5，0）、B（4，-1）代入y=kx+b，
$\left\{\begin{array}{l}{5k+b=0}\\{4k+b=-1}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=-5}\end{array}\right.$，
∴直線l₂的函數(shù)解析式為y=x-5．
（2）聯(lián)立兩直線解析式成方程組，
$\left\{\begin{array}{l}{y=-2x+4}\\{y=x-5}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=-2}\end{array}\right.$，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（3，-2）．
當(dāng)y=-2x+4=0時(shí)，x=2，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，0）．
∴S_△ADC=$\frac{1}{2}$AD•|y_C|=$\frac{1}{2}$×（5-2）×2=3．
（3）假設(shè)存在．
∵△ADP面積是△ADC面積的2倍，
∴|y_P|=2|y_C|=4，
當(dāng)y=x-5=-4時(shí)，x=1，
此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，-4）；
當(dāng)y=x-5=4時(shí)，x=9，
此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（9，4）．
綜上所述：在直線l₂上存在點(diǎn)P（1，-4）或（9，4），使得△ADP面積是△ADC面積的2倍．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了兩條直線相交或平行問(wèn)題、一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征以及待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，根據(jù)給定點(diǎn)的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．