Question

9．如圖，矩形ABCD中，E為CD的中點(diǎn)，連接AE并延長(zhǎng)交BC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F，連接BD交AF于點(diǎn)H，AB=5，且tan∠EFC=$\frac{{\sqrt{2}}}{4}$，那么AH的長(zhǎng)為（　�。�

• A． 5
• B． $5\sqrt{2}$
• C． 10
• D． $3\sqrt{6}$

Answer 1

分析 根據(jù)線(xiàn)段中點(diǎn)的定義可得CE=DE，根據(jù)矩形的對(duì)邊平行可得AD∥BC，再根據(jù)兩直線(xiàn)平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得∠DAE=∠CFE，然后利用“角角邊”證明△ADE和△CFE全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得CF=AD，然后利用tan∠EFC求出BF，再利用勾股定理列式求出AF，再求出△ADH和△FBH相似，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例求出$\frac{AH}{FH}$，再求解即可．

解答 解：∵E為CD的中點(diǎn)，
∴CE=DE=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{5}{2}$，
在矩形ABCD中，AD∥BC，
∴∠DAE=∠CFE，
在△ADE和△CFE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DAE=∠CFE}\\{∠AED=∠FEC}\\{CE=DE}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△CFE（AAS），
∴AE=EF，AD=CF，∴BF=BC+CF=AD+CF
∵tan∠EFC=$\frac{\sqrt{2}}{4}$，
∴BF=10$\sqrt{2}$，
在Rt△ABF中，AF=$\sqrt{A{B}^{2}+B{F}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}+（10\sqrt{2}）^{2}}$=15，
∵AD∥BC，
∴△ADH∽△FBH，
∴$\frac{AH}{FH}$=$\frac{AD}{BF}$=$\frac{5\sqrt{2}}{10\sqrt{2}}$=$\frac{1}{2}$，
∴AH=$\frac{1}{1+2}$AF=$\frac{1}{3}$×15=5．
故選A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形，勾股定理，綜合題，但難度不大，熟記各性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．