Question

6．如圖，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD是△ABC的角平分線，DE∥BA交AC于點(diǎn)E，DF∥CA交AB于點(diǎn)F，已知CD=3．
（1）求AD的長；
（2）求四邊形AEDF的周長．（注意：本題中的計(jì)算過程和結(jié)果均保留根號(hào)）

Answer 1

分析 （1）首先證明∠CAD=30°，易知AD=2CD即可解決問題；
（2）首先證明四邊形AEDF是菱形，求出ED即可解決問題；

解答 解：（1）∵∠C=90°，∠B=30°，
∴∠CAB=60°，
∵AD平分∠CAB，
∴∠CAD=$\frac{1}{2}$∠CAB=30°，
在Rt△ACD中，∵∠ACD=90°，∠CAD=30°，
∴AD=2CD=6．

（2）∵DE∥BA交AC于點(diǎn)E，DF∥CA交AB于點(diǎn)F，
∴四邊形AEDF是平行四邊形，
∵∠EAD=∠ADF=∠DAF，
∴AF=DF，
∴四邊形AEDF是菱形，
∴AE=DE=DF=AF，
在Rt△CED中，∵∠CDE=∠B=30°，
∴DE=$\frac{CD}{cos30°}$=2$\sqrt{3}$，
∴四邊形AEDF的周長為8$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查菱形的判定和性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、直角三角形30度角的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題，屬于中考常考題型．