Question

2．如圖，在直角梯形OABC中，OA∥CB，A、B兩點的坐標(biāo)分別為A（15，0），B（10，12），動點P、Q分別從O、B出發(fā)，點P以每秒2個單位長度的速度沿OA向終點A運(yùn)動，點Q以每秒1個單位的速度沿BC向終點C運(yùn)動，當(dāng)點P停止運(yùn)動時，點Q也同時停止運(yùn)動．線段OB、PQ相交于點D，過點D作DE∥OA，交AB于點E，連接QE并延長，交x軸于點F．設(shè)動點P、Q的運(yùn)動時間為t（單位：秒）
（1）當(dāng)t為何值時，四邊形PABQ是等腰梯形？
（2）當(dāng)t=2秒時，求梯形OFBC的面積；
（3）是否存在點P，使△PQF是等腰三角形？若存在，請求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）可通過構(gòu)建直角三角形來求解．過B作BG⊥OA于G，過Q作QH⊥OA于H．可根據(jù)勾股定理，求出AB的值，用t表示出QP，讓QP=AB，求出t的值；
（2）有了t的值，即可求出OP，CQ，QB的值，根據(jù)平行線段成比例，可以得出AF，進(jìn)而求出OF的值，這樣就可以求出梯形的面積；
（3）分三種情況進(jìn)行討論，讓△PQF的三邊兩兩相等，求出t的值，即可解答．

解答 解：（1）如圖，過B作BG⊥OA于G，

則AB=$\sqrt{B{G}^{2}+A{G}^{2}}=\sqrt{1{2}^{2}+（15-10）^{2}}=\sqrt{169}$=13．
過Q作QH⊥OA于H，
則QP=$\sqrt{Q{H}^{2}+P{H}^{2}}=\sqrt{1{2}^{2}+（10-t-2t）^{2}}$=$\sqrt{144+（10-3t）^{2}}$．
要使四邊形PABQ是等腰梯形，則AB=QP，
即$\sqrt{144+（10-3t）^{2}}$=13．
∴t=$\frac{5}{3}$，或t=5（此時PABQ是平行四邊形，不合題意，舍去）；
∴t=$\frac{5}{3}$．
（2）當(dāng)t=2時，OP=4，CQ=10-2=8，QB=2．
∵CB∥DE∥OF，
∴$\frac{QB}{AF}=\frac{QE}{EF}=\frac{QD}{DP}=\frac{QB}{OP}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$，
∴AF=2QB=2×2=4．
∴OF=15+4=19．
∴S_梯形OFBC=$\frac{1}{2}$（10+19）×12=174．
（3）①當(dāng)QP=PF時，則$\sqrt{1{2}^{2}+（10-t-2t）^{2}}$=15+2t-2t，
∴t=$\frac{1}{3}$或t=$\frac{19}{3}$．
∴OP=$\frac{1}{3}×2=\frac{2}{3}$或OP=$\frac{19}{3}×2=\frac{38}{3}$，
∴P（$\frac{2}{3}$，0）或P（$\frac{38}{3}$，0）；
②當(dāng)QP=QF時，則$\sqrt{1{2}^{2}+（10-t-2t）^{2}}=\sqrt{1{2}^{2}+F{H}^{2}}$=$\sqrt{1{2}^{2}+[15+2t-（10-t）^{2}}$，
即 $\sqrt{1{2}^{2}+（10-3t）^{2}}=\sqrt{1{2}^{2}+（5+3t）^{2}}$，
∴t=$\frac{5}{6}$．
∴OP=$\frac{5}{6}×2=\frac{5}{3}$，
∴P（$\frac{5}{3}$，0）；
③當(dāng)QF=PF時，則 $\sqrt{1{2}^{2}+（5+3t）^{2}}$=15，
∴t=$\frac{4}{3}$或t=-$\frac{14}{3}$（舍去）．
∴OP=$\frac{4}{3}×2=\frac{8}{3}$，
∴P（$\frac{8}{3}$，0）；
綜上，P（$\frac{2}{3}$，0），P（$\frac{38}{3}$，0），P（$\frac{5}{3}$，0），P（$\frac{8}{3}$，0）．

點評 本題考查了四邊形，解決本題的關(guān)鍵是勾股定理的應(yīng)用，等腰梯形的判定，等腰三角形的判定要注意的是（3）中要分三種情況進(jìn)行討論，不可丟掉任何一種．