Question

20．我們把順次連接任意一個四邊形各邊中點所得的四邊形叫做中點四邊形．
（1）任意四邊形的中點四邊形是什么形狀？為什么？
（2）任意平行四邊形的中點四邊形是什么形狀？為什么？
（3）任意矩形、菱形和正方形的中點四邊形分別是什么形狀？為什么？

Answer 1

分析 （1）三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半．需注意新四邊形的形狀只與對角線有關(guān)，不用考慮原四邊形的形狀；
（2）利用三角形中位線定理可得新四邊形的對邊平行且等于原四邊形一條對角線的一半，那么根據(jù)一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形可判定所得的四邊形一定是平行四邊形；
（3）利用（1）的判定方法，再根據(jù)矩形，菱形，正方形的判定方法來判定．

解答 解：（1）任意四邊形的中點四邊形是平行四邊形；
理由：如圖1，連接BD，
已知任意四邊形ABCD，E、F、G、H分別是各邊中點．
在△ABD中，E、H是AB、AD中點，所以EH∥BD，EH=$\frac{1}{2}$BD．
在△BCD中，G、F是DC、BC中點，
所以GF∥BD，GF=$\frac{1}{2}$BD，
所以EH=GF，EH∥GF，
所以四邊形EFGH為平行四邊形．

（2）任意平行四邊形的中點四邊形是平行四邊形，
理由：如圖2，四邊形ABCD，E、N、M、F分別是DA，AB，BC，DC中點，連接AC，DE，
根據(jù)三角形中位線定理可得：
EF平行且等于AC的一半，MN平行且等于AC的一半，
根據(jù)平行四邊形的判定，可知四邊形為平行四邊形；

（3）如果原四邊形為矩形，則形成的中點四邊形為菱形；
如果原四邊形為菱形，則形成的中點四邊形為矩形；
如果原四邊形為正方形，則形成的中點四邊形為正方形．
證明：原四邊形為矩形，則其對角線長度相等，再根據(jù)（1）的證明可知，中點四邊形為平行四邊形，
所以此平行四邊形的四條邊相等，可以證明中點四邊形為菱形；
原四邊形為菱形，則其對角線互相垂直，再根據(jù)（1）的證明可知，中點四邊形為平行四邊形，
所以此平行四邊形的鄰邊垂直，可以證明中點四邊形為矩形；
原四邊形為正方形，則其對角線互相垂直，且對角線長度相等，再根據(jù)（1）的證明可知，中點四邊形為平行四邊形，
所以中點平行四邊形的四條邊相等且對邊垂直，可以證明中點四邊形為正方形．

點評 此題考查了三角形的中位線定理和特殊四邊形的判定定理．熟記結(jié)論：順次連接四邊形各邊中點所得四邊形是平行四邊形；順次連接對角線相等的四邊形各邊中點所得四邊形是菱形；順次連接對角線垂直的四邊形各邊中點所得四邊形是矩形；順次連接對角線相等且互相垂直的四邊形各邊中點所得四邊形是正方形．